背包问题求具体方案

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算法一

题目要求输出字典序最小的解，假设存在一个包含第1个物品的最优解，为了确保字典序最小那么我们必然要选第一个。那么问题就转化成从2～N这些物品中找到最优解。之前的f(i,j)记录的都是前i个物品总容量为j的最优解，那么我们现在将f(i,j)定义为从第ii个元素到最后一个元素总容量为j的最优解。接下来考虑状态转移：

两种情况，第一种是不选第i个物品，那么最优解等同于从第i+1个物品到最后一个元素总容量为j的最优解；第二种是选了第i个物品，那么最优解等于当前物品的价值w[i]加上从第i+1个物品到最后一个元素总容量为j−v[i]的最优解。

计算完状态表示后，考虑如何的到最小字典序的解。首先f(1,m)肯定是最大价值，那么我们便开始考虑能否选取第1个物品呢。

如果f(1,m)=f(2,m−v[1])+w[1]，说明选取了第1个物品可以得到最优解。

如果f(1,m)=f(2,m)，说明不选取第一个物品才能得到最优解。

如果f(1,m)=f(2,m)=f(2,m−v[1])+w[1]，说明选不选都可以得到最优解，但是为了考虑字典序最小，我们也需要选取该物品。

c++代码

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = n ; i >= 1 ; i --)
    {
        for(int j = 0 ; j <= m ; j++)
        {
            f[i][j] = f[i + 1][j];
            if(j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    int cur_v = m;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {   //如果是最后一个元素，特判一下，防止越界即可
        if(i == n && cur_v >= v[i])
        {
            printf("%d ",i);
            break;
        }
        if(cur_v <= 0)
            break;
        //判断下标是否越界
        if(cur_v - v[i]>=0 && f[i][cur_v] == f[i + 1][cur_v - v[i]] + w[i]){
            printf("%d ",i);
            cur_v = cur_v - v[i];//选了第i个物品，剩余容量就要减小。
        }
    }
    return 0;
}

作者：T-SHLoRk
链接：https://www.acwing.com/solution/content/2687/
来源：AcWing
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