分块学习笔记

分块学习笔记

分块是基于区间修改和查询的工具。

用一道题来引入：

给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间加法，单点查值。

#6277. 数列分块入门 1

这道题如果用暴力来求解的话，需要 $O(n^2)$ 的时间复杂度，这样我们是不满意的，那怎么办呢？我们想到，如果 $l=1,r=n$ 时，我们是否可以直接记一个变量进行记录现在已经加了多少值了，所以思路就出来了。

但是，$l=1,r=n$ 的情况太少了，那能不能分为几组进行加值呢？

当然是可以的，我们直接分为 $k$ 组 （当然，$k$组的长度尽量是一样的）。

在区间加时，在最左边的组和最右边的组之间用 $O(k)$ 的时间复杂度进行遍历，依次加上对应的值，中间我们直接在一个这个组的 add 数组里加一个值即可，$O(n/k)$的时间复杂度。

那区间查询怎么做呢，那还不简单，直接原来的值加上这个组的值即可,$O(1)$的时间复杂度。

总时间复杂度 $O(n* \max(n/k,n))$。

这里要使时间复杂度尽量的小，使 $n/k=n$ 即可，所以 $k=\sqrt n$ 是最佳情况，总时间复杂度 $O(n \sqrt n)$。

所以，分块的核心思想就是$l=1,r=n$的解决方案加上 $l=r$的解决方案。

再来一道题：

#6279. 数列分块入门 3

沿用我们上面的思想，如果 $l=r$，那我们就直接判断即可，如果 $l=1,r=n$,我们是不是排序之后二分查找即可，那查询就不难了。

那修改呢？这也不难，直接按照上面那一题的方法即可，在查询的时候之间查询 $x-add$ 即可。

再来看一道较难的题目：

#6281. 数列分块入门 5

区间开方？这个有点难办呀，但是我们想到，这个区间开方能开很多次吗？是不是每一个块至多开方六次就会全都变为零，这样开方的均摊时间复杂度就是 $O(6n)$ 了，其他的都和上面的一样。

看一道不太一样的题目：

#6282. 数列分块入门 6

好，这里的单点插入我们好像没有见过，思考一下要用什么实现单点查询。

数组的插入是 $O(n)$ 的，而链表的查询是 $O(n)$，这里使用 vector 是最佳的，因为 vector 自带 insert 函数，更简单吧。

当你需要查询的时候直接遍历过来，而插入的时候也是遍历过来，操作的时间复杂度是 $O( \sqrt n )$。

这样的时间复杂度就是 $O(n \sqrt n)$ 的。

但是这样如果他一直把数放在一个块里呢？

那我们可以定期重构一下 vector 就可以了。

练习：

loj数列分块入门 1-9

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