分块学习笔记
分块学习笔记
分块是基于区间修改和查询的工具。
用一道题来引入：
给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间加法，单点查值。
这道题如果用暴力来求解的话，需要 \(O(n^2)\) 的时间复杂度，这样我们是不满意的，那怎么办呢？我们想到，如果 \(l=1,r=n\) 时，我们是否可以直接记一个变量进行记录现在已经加了多少值了，所以思路就出来了。
但是，\(l=1,r=n\) 的情况太少了，那能不能分为几组进行加值呢？
当然是可以的，我们直接分为 \(k\) 组 （当然，\(k\)组的长度尽量是一样的）。
在区间加时，在最左边的组和最右边的组之间用 \(O(k)\) 的时间复杂度进行遍历，依次加上对应的值，中间我们直接在一个这个组的 add 数组里加一个值即可，\(O(n/k)\)的时间复杂度。
那区间查询怎么做呢，那还不简单，直接原来的值加上这个组的值即可,\(O(1)\)的时间复杂度。
总时间复杂度 \(O(n* \max(n/k,n))\)。
这里要使时间复杂度尽量的小，使 \(n/k=n\) 即可，所以 \(k=\sqrt n\) 是最佳情况，总时间复杂度 \(O(n \sqrt n)\)。
所以，分块的核心思想就是\(l=1,r=n\)的解决方案加上 \(l=r\)的解决方案。
再来一道题：
沿用我们上面的思想，如果 \(l=r\)，那我们就直接判断即可，如果 \(l=1,r=n\),我们是不是排序之后二分查找即可，那查询就不难了。
那修改呢？这也不难，直接按照上面那一题的方法即可，在查询的时候之间查询 \(x-add\) 即可。
再来看一道较难的题目：
区间开方？这个有点难办呀，但是我们想到，这个区间开方能开很多次吗？是不是每一个块至多开方六次就会全都变为零，这样开方的均摊时间复杂度就是 \(O(6n)\) 了，其他的都和上面的一样。
看一道不太一样的题目：
好，这里的单点插入我们好像没有见过，思考一下要用什么实现单点查询。
数组的插入是 \(O(n)\) 的，而链表的查询是 \(O(n)\)，这里使用 vector 是最佳的，因为 vector 自带 insert 函数，更简单吧。
当你需要查询的时候直接遍历过来，而插入的时候也是遍历过来，操作的时间复杂度是 \(O( \sqrt n )\)。
这样的时间复杂度就是 \(O(n \sqrt n)\) 的。
但是这样如果他一直把数放在一个块里呢？
那我们可以定期重构一下 vector 就可以了。
练习：
loj数列分块入门 1-9
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