矩阵乘法学习笔记

矩阵乘法

对于线性简单的 dp 可以使用矩阵快速幂加速转移，可以从 $O(n)$ 的时间复杂度降到 $O(k^3\log n)$ ( $k$ 为矩阵的大小，通常小于10)

先给出矩阵乘法的模板代码：

struct MAT {
	int c[15][15],n,m;
	MAT() {
		memset(c,0,sizeof c);
	}
	MAT(int x,int y,int flag=0) {
		n=x,m=y;
		memset(c,0,sizeof c);
		if(flag)for(int i=1; i<=n; i++)c[i][i]=1;
	}
	MAT operator *(const MAT &a)const {
		MAT res(n,a.m);
		for(int i=1; i<=n; i++)
			for(int j=1; j<=a.m; j++)
				res.c[i][j]=c[i][1]*a.c[1][j]+c[i][2]*a.c[2][j]+c[i][3]*a.c[3][j],res.c[i][j]%=mod;
		return res;
	}
} A[9],B(1,3);
MAT qpow(MAT A,int q) {
	MAT res(A.n,A.m,1);
	while(q) {
		if(q&1)res=res*A;
		q>>=1;
		A=A*A;
	}
	return res;
}

这里乘的时候可以直接循环展开（手撕循环）常数大减。

以斐波那契数列讲一下矩阵乘法的实现。

$f_i =f_{i-1} +f_{i-2}$

转移方程可以转化为 $\left [ \begin{matrix} f_i & f_{i-1}\end{matrix} \right]*\left [\begin{matrix} 1 &1 \\ 1 &0\end {matrix} \right] =\left [\begin{matrix} f_{i+1} & f_{i}\end {matrix} \right]$

这里的乘法就可以用快速幂来解决。实现 $O(\log n)$ 的时间复杂度。

普通的矩阵加速还是太简单了。是否有更难的矩阵的应用呢。

有的，有的。

这里有线段树维护矩阵的题 [大魔法师](Loading - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

但是其实就是码量大一点而已，其他就很简单，把每一个魔法对应的矩阵都算出来即可。

而矩阵在图上的应用就是类 Floyd 的算法，比如限长负环，限长最短路等，都是可以用矩阵乘法来加速的，本质来说就是倍增法。

分段 dp :有些题可能dp的每一部分的转移方程都是不同的，这样的话就是你把每一个矩阵都搞出来，离散化一下，对每一个区间求一遍即可。如[Runner's Problem](Runner's Problem - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)) (这都紫题了)

最重要的矩阵部分就是大名鼎鼎的动态dp (DDP)(电灯泡)

何为动态 dp， 就是本身就是一个 dp ,但是带修改的dp,或者说是查询某一个区间，这时候用线段树维护矩阵就是一个不错的选择。

就像树上问题一样，第一步是转化成链上的问题。当然，动态dp 是先转化成普通的线性dp。

比如，最大连续和这个经典的dp，$dp[i][0] =\max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]),dp[i][1]=dp[i-1][0]+a[i]$

这个明显可以直接转化成矩阵的形式（当然是广义的矩阵乘法），$\left [ \begin{matrix} f_{i,0} & f_{i,1}\end{matrix} \right]*\left [\begin{matrix} 0 & a[i] \\ 0 &-\inf\end {matrix} \right] =\left [\begin{matrix} f_{i+1,0} & f_{i+1,1}\end {matrix} \right]$

直接维护这些矩阵的就可以了，答案就是初始矩阵乘区间乘积即可。

当然难的 ddp 在树上的 ddp 但是蒟蒻还是太弱了，目前还是不会。