参数方程的曲率之小笔记~

1.先来曲率的定义：

 

 

曲率的公式：

 

 

2.那么，既然知道曲率的计算公式了，那么单独给你一个参数方程，你算得出它得曲率吗？

同济教材直接给出他的计算公式，但是我想应该有很多同学不知道怎么推导：

 

 2.1首先得明白什么是参数方程：

百度百科定义如下：

 

 笔者理解参数方程：有时候，我们不难直接研究两个变量之间得关系，要借助第三个变量来研究问题，第三个变量搭建起了x和y联系得桥梁，这种方程就叫做参数方程，比如上面的方程，x和y两者关系不难直接表示，所以借助了第三个变量：t，使得x和y间接产生了联系。

再说一下参数方程的求导：

比如参数方程

 

在参数方程中，显然是做不到y对x的直接求导的（除非你把t消去，得到y关于x的表达式），因此只能得到y对t的直接求导。

所以y对x的求导必须要借助y对t的求导和x对t的求导，也就是我们熟知的公式 。

 

那么相应的求y对x的二阶导数，也必须要借助对t的求导来得到。也就是

一言以蔽之，参数方程，我们最容易得出的是y和x对于t的直接求导，然后借此来得到y对于x的求导。切记，我们所求导时，必须是谁对于谁的求导，尤其是在多元函数中，把握准了这个，基本上就透彻了。

 

所以下面给出参数方程的曲率公式：

直接利用曲率公式和参数方程求导法则给出：