函数连续与间断点的关系，首先要看区间！！！

最近在学习高数内容，之前的学习都是应付式，现在准备深一点研究。

从我们人的直接来说，如果一条线段是连续的，那它必然是光滑且没有断裂。

下面介绍一下函数连续和间断点的定义。

（1）函数连续的定义

但是高数中，函数的连续定义如下：

 

 可以看出，高等数学中，对连续是针对点而言的，也就是说，如果你要说明某个范围内，函数连续，那么它必须在这个范围内每一个点都得符合上述定义。

 

 也就是说，左极限=右极限=该点函数值，则该点连续。

 

（2）函数间断的定义分成下面三种情况

 

情况1：

 

 

 

 函数在圆圈处没有定义，该点为间断点。

情况2：

 

 

 

 

因为左极限不等于右极限，所以该点极限不存在，该点为间断点。

 

情况3：

 

 

 

 左右极限存在，所以该点有极限，但是该点极限与函数该点值不等，所以该点为间断点。

 

上述说明的间断点都存在左右极限，所以数学上把左右极限存在的这种间断点统一称为第一类间断点

除了第一类间断点，其它的都是第二类间断点。

 

 

下面贴几张第二类间断点的图像：

 

 左右极限不存在，第二类间断点

 

 该函数来回波动，没有极限，第二类间断点

 

最后贴一下百度百科上面关于间断点的定义：

 

 注意：非连续函数是重点，圈起来要考试哦！（所以我们知道，间断点是针对非连续函数而言的，连续函数肯定没有！）

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------看了连续的基本概念和间断的基本定义，那么来思考这道题：

 

 看一下它的图像：

 

 

猛然一看是不是觉得它间断了？

那它是不是连续函数呢？

初学这个概念的人很容易搞混，包括我！

 

课本上说研究一个函数是要在它有定义的范围内进行研究！那么什么叫有定义的范围呢？

 

（1）首先这个有定义的范围是所有有定义的点组成的。那么什么叫函数有定义的点？

判断条件：

判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)的值是否存在，若f(x0)无穷大，则说明函数在这个点没有定义！！；

情形1：只看函数的定义区间

 

由上面的判定条件，我们可以清楚的知道，函数（1/X）在除0以外的区间有定义，结合函数图像，可以知道它是连续函数，既然它是连续函数了，那就肯定没有间断点！！

 情形2：看整个实数范围

研究整个实数范围的话，我们可以知道函数在0点间断了，那么整个函数（1/X）在实数区间内就不是连续函数了，因为它的间断点是0。

 

所以上面那个问题可以回答了，你要问我他是不是连续函数，间断点存在与否，那么必须先告诉我它的区间是哪里到哪里！

如果题目不说，就是默认函数在有定义的区间上面研究，那么这道题答案是：函数（1/X）是连续函数，它没有间断点！！！

 橘颜色这些字是我后来修改的，我和其它同学一起讨论的，我觉得这样更贴切，函数连续和存在间断点可能并不互斥，可能也可以一起存在，只不过可能也涉及到区间问题，看一个函数是否连续，需要在其有定义的范围内研究，而看一个函数是否有间断点，应该在实数范围内研究，因为间断点，不考虑该点是否在定义上，看法不同，只不过人的固有思维产生，看起来可能存在矛盾。

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结论：说白了，研究一个函数，首先要明确它的区间，确定区间才能确定该函数在这个区间是否连续，或者间断。但是如果确定了函数这个区间是连续的，那么他一定没有间断点，

相反，如果函数在这个区间上有间断点，那么这个函数一定在这个区间上不连续，注意不连续！！

（即连续和间断在确定的区间上是互斥的！！！！）