取整运算与数论分块

前言

注意力惊人。

1. 取整运算

取整运算有好多种，各自有不同的符号，下面列举一下：

• \(\left \lfloor x \right \rfloor\) （$\left \lfloor x \right \rfloor$） 表示向下取整，也就是把 \(x\) 设为小于等于自己的最大整数，下面是三个例子：

\[\left \lfloor 3.14 \right \rfloor = 3 \\ \left \lfloor -3.14 \right \rfloor =-4\\ \left \lfloor 3 \right \rfloor =3\]

• \(\left \lceil x \right \rceil\) （$\left \lceil x \right \rceil$） 表示向上取整，就是把 \(x\) 设为大于等于自己的最小整数，下面是三个例子：

\[\left \lceil 3.14 \right \rceil =4\\ \left \lceil -3.14 \right \rceil =3\\ \left \lceil 3 \right \rceil =3 \]

• $\left [ x \right ] $ （$\left [ x \right ] $）一般也是向下取整的意思。

• \(\left \{ x \right \}\) （$\left \{ x \right \}$）表示实数 \(x\) 的小数部分，使用时不能与表示集合的花括号混淆，且要注意转义符号 \。
  由它的定义易得：

\[\left \{ x \right \} =x-\left \lfloor x \right \rfloor \]

2. 取整运算的一些性质

拆解取余运算

用这些符号表示一个数：

\[x=\left \lfloor x \right \rfloor + \left \{ x \right \} \]

小学数学我们学过，被除数 \(x\) 除以另一个不为 \(0\) 的整数除数 \(y\) 会得到一个商和一个可能为 \(0\) 的余数，用这些符号表示一下：

\[\text{商：}\left \lfloor \dfrac{x}{y} \right \rfloor \]

\[\text{余数：} x\bmod y \]

根据被除数等于除数乘以商 \(+\) 余数：

\[x=y\left \lfloor \dfrac{x}{y} \right \rfloor + x\bmod y \]

于是我们可以得出取余运算的一个拆解：

\[x\bmod y=y\left \lfloor \dfrac{x}{y} \right \rfloor - x \]

许多推式子题目都要用到这种转换，下面我们在数论分块中也要用到。

幂等性

\[\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor \right \rfloor =\left \lfloor x \right \rfloor \\ \left \lceil \left \lceil x \right \rceil \right \rceil = \left \lceil x \right \rceil \\ \left \{ \left \{ x \right \} \right \} = \left \{ x \right \} \]

人话：做很多次运算等于做一次运算。

对于 \(\left \lfloor \right \rfloor\) 和 \(\left \lceil \right \rceil\)，还有：

\[\left \lfloor \left \lceil x \right \rceil \right \rfloor = \left \lceil x \right \rceil \\ \left \lceil \left \lfloor x \right \rfloor \right \rceil =\left \lfloor x \right \rfloor \\\]

人话：只关心最内层取整号的作用。
但是 \(\left \{ \right \}\) 符号没有此性质。

互反律

\[\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lceil -x \right \rceil =0\\ \left \lceil x \right \rceil +\left \lfloor -x \right \rfloor =0 \]

由此可以得到：

\[-\left \lfloor x \right \rfloor =\left \lceil -x \right \rceil\\ -\left \lceil x \right \rceil =-\left \lfloor -x \right \rfloor \]

另外还有：

\[\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor -x \right \rfloor =\left\{\begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ (x\in \mathbb{Z} ),\\ -1\ \ \ (x \notin \mathbb{Z} ), \end{matrix}\right. \]

\[\left \lceil x \right \rceil + \left \lceil -x \right \rceil =\left\{\begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ (x\in \mathbb{Z} ),\\ 1\ \ \ \ \ \ (x \notin \mathbb{Z} ), \end{matrix}\right. \]

\[\left \{ x \right \} + \left \{ -x \right \} =\left\{\begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ (x\in \mathbb{Z} ),\\ 1\ \ \ \ \ \ (x \notin \mathbb{Z} ), \end{matrix}\right.\]

与整数的关系

\[x-1<\left \lfloor x \right \rfloor \le x \le \left \lceil x \right \rceil < x+1 \]

提取整数项

\(\forall x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}\)， 有：