二叉树的定义以及遍历

二叉树的定义以及遍历

      在学习过程中带着问题去思考，这样往往会达到事半功倍的效果。现在有这样一个问题：二叉树的前序遍历为EFHIGJK，中序遍历为HFIEJKG，按照后序遍历和层序遍历的结果是多少？

      为了解决这个问题，我们先看下什么是二叉树以及二叉树是如何遍历的？

     一、什么是二叉树

     1. 定义

     简单理解下：

     1）本身是有序树；

     2）树中包含的各个节点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2

     2. 二叉树的类型

          2.1 满二叉树

          如果二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。

            

         2.2 完全二叉树

     如果二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

               

      2.3  非完全二叉树

      如下图：由于最后一层的节点没有按照从左向右分布，因此只能算作是普通的二叉树。

                    

    二.   二叉树的遍历

     1.  几个相关概念

    二叉树的遍历涉及到两个关键点：访问和次序

    度：二叉树中，节点的度指的是节点拥有的子树的数目。而整棵树的度指的是树中结点的最大的度。

    根节点：二叉树只有一个根节点，树最顶端的节点就是根节点

    分支节点：也称为非终端节点，度不为零的节点称为非终端节点

    叶子节点：也称为终端节点，没有子树的节点或者度为零的节点

    2.  二叉树的遍历有什么特殊之处？

    在计算机程序中，遍历本身是一个线性操作。所以遍历同样具有线性结构的数组或链表，是一件轻而易举的事情。

    反观二叉树，是典型的非线性数据结构，遍历时需要把非线性关联的节点转化成一个线性的序列，以不同的方式来遍历，遍历出的序列顺序也不同。         

    3.  二叉树的遍历方式

   顺序是：根左右（根在最前面），考察到一个分支节点，即刻输出该节点的值，并继续遍历其左右子树

   说明：每一层都要按照分支节点在前面位置来进行遍历

    1）中序遍历
    顺序是: 左根右（根在中间），考察到一个分支节点，将其暂存，遍历完左子树后，再输出该节点的值，然后遍历右子树

    说明：按照分支节点在中间位置来进行遍历

    2）后序遍历

    顺序是: 左右根（根在最后面），考察到一个分支节点，将其暂存，遍历完左右子树后，再输出该节点的值。

   说明：按照分支节点在后面位置来进行遍历

    3）层序遍历
   这种遍历方式比较简单：从上往下，从左到右

   说明：上面几种遍历方式中，这个根指的是每一层遍历时的分支节点，当然根节点只有一个，根据先序、中序、后序来放置在最前面、中间、最后面

    现在我们再来看下：

• 由前序遍历结果EFHIGJK，可以得出 E 是根节点
• 由中序遍历结果HFIEJKG，可以得出HFI是左子树的节点，JKG是右子树的节点
• 我们再来看前序遍历结果EFHIGJK，由第2点的分析，将其进行分割为 E,FHI,GJK
• 由前序遍历的特点是根左右，那么可以得出 F 和 G 是第二层的中间节点
• 再回到中序遍历结果：HFIEJKG

    分析左子树

    由于HFI是一个整体，F是中间节点，可以得出 H 是F下一层的左边子节点，I 是F下一层的右边子节点。

    如下图：

              

 

     6) 分析右子树：

    由于前面已经推导出 G 是中间节点，由中序遍历结果：HFIEJKG，可以推导出JK构成了G的左子树。

    再下沉一级，来看前序遍历中的结果EFHIGJK。将JK看做一个整体，那么J是中间节点，再回到中序遍历结果HFIEJKG来判断范围，K在J的右侧。

    可以推导出如下图：

           

 

      推导完毕,现在我们可以得出

      后序遍历的结果为： HIFKJGE

      层序遍历的结果为： EFGHIJK

       三、总结

     因为二叉树的遍历首先是根据根节点的位置遍历的，因此推导过程中主要注意这两点：

     1.  首要步骤是通过前序/后序遍历结果推导出根节点

     2.  再通过中序遍历划分节点范围，然后再根据前序/后序遍历结果去推导其他节点的位置。如果还有下一层级就继续按照刚才逻辑推导。