工科数学分析 Chap.1 习题 1.4.6
Description
证明下列关系式:
(1). \(\arcsin x=x+o(x),x\to 0\);\(\quad\)(2). \(\arctan x=x+o(x)\);\(\quad\)(3). \(\sqrt[n]{1+x}=1+\dfrac{1}{n}x+o(x),x\to 0\);
(4). \(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}\sim\dfrac{1}{4}x^3,x\to0\);\(\quad\)(5). \(\sqrt{x+\sqrt{1+\sqrt{x}}}\sim\sqrt{x},x\to+\infty\);\(\quad\)(6). \(1+\cos\pi x\sim\dfrac{\pi^2}{2}(x-1)^2,x\to 1\).
Solution
(1).
已知 \(x\to 0\) 时有 \(\sin x\sim x\), 令 \(y=\sin x\), 则 \(y\to 0\), 且 \(\arcsin y=x\sim y\). 即当 \(x\to 0\) 时, \(\arcsin x\) 和 \(x\) 是等价无穷小, 于是由书中定理 4.4 即得 \(\arcsin x = x+o(x)\).
(2).
已知 \(x\to 0\) 时有 \(\tan x\sim x\), 与 (1) 类似地有 \(\arctan x\sim x\), 于是有 \(\arctan x=x+o(x)\).
(3).
于是有
即
(4).
因而 \(\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}\sim \dfrac{1}{4}x^3,x\to 0\).
(5).
因此 \(\sqrt{x+\sqrt{1+\sqrt{x}}}\sim\sqrt{x},x\to+\infty\).
(6).令 \(t=x-1\), 则原式为