Luogu P5748 集合划分计数 题解

Description

定义 \(b_n\) 为将有 \(n\) 个集合的元素划分为任意个无序非空子集的方案数（贝尔数），求 \(b_n\bmod {998244353}\)。

多测。

\(1\le n\le 10^5\)，\(T=10^3\)。

Solution

发现 \(b_n\) 实际上是一行第二类斯特林数的和，而对于斯特林数 \(\begin{Bmatrix} n \\ k\end{Bmatrix}\)，有通项公式：

\[\begin{Bmatrix} n \\ k\end{Bmatrix}=\sum_{r=1}^k(-1)^{k-r}\dfrac{r^n}{(k-r)!r!} \]

注意到当 \(k>n\) 时，\(\begin{Bmatrix} n \\ k\end{Bmatrix}=0\)，所以我们可以假定一个大于 \(n\) 的整数 \(M\)，有

\[\begin{aligned} b_n&=\sum_{k=1}^M\sum_{r=1}^k(-1)^{k-r}\dfrac{r^{n-1}}{(k-r)!(r-1)!}\\ &=\sum_{r=1}^M\dfrac{r^{n-1}}{(r-1)!}\sum_{k=r}^M\dfrac{(-1)^{k-r}}{(k-r)!} \end{aligned} \]

因为 \(M\) 可以取任意比 \(n\) 大的整数，我们令 \(M\to+\infty\)，有

\[b_n=\dfrac{1}{{\rm e}}\sum_{r\ge 0}\dfrac{r^n}{r!} \]

我们考虑贝尔数的 EGF \(B(z)\)，有：

\[\begin{aligned} B(z)-1&=\sum_{k\ge 1}\dfrac{b_k}{k!}z^k\\ &=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\sum_{k\ge 1}\dfrac{z^k}{k!}\sum_{r\ge 1}\dfrac{(r-1)^k}{(r-1)!}\\ &=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\sum_{r\ge 1}\dfrac{1}{r!}\sum_{k\ge 1}\dfrac{(zr)^k}{k!}\\ &=\dfrac{1}{\mathrm{e}}\sum_{r\ge 1}\dfrac{\mathrm{e}^{rz}-1}{r!}\\ &=\dfrac{1}{\mathrm{e}}(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^z}-\mathrm{e})\\ &=\mathrm e^{\mathrm e^z-1}-1 \end{aligned} \]

即 \(B(z)=\mathrm{e}^{\mathrm e^z-1}\)，算一遍 \(\exp\) 即可。

时间复杂度：\(\mathcal O(n\log n)\)。