自由度的理解

数学中的自由度一般是指能够自由取值的变量个数。数理统计中的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数。

当有约束条件时，自由度减少，自由度计算公式：自由度=样本个数-样本数据受约束条件的个数，即自由度=n-k（n样本个数，k约束条件个数）。例如，一组数据，平均数一定，则这组数据有n-1个数据可以自由变化；如一组数据平均数一定，标准差也一定，则只有n-2个数据可以自由变化。

假设一个容量为10的样本，如果没有其他关于该样本的信息或约束的话，任意从总体中抽取的10个观察值都可以形成这样的样本。也就是说，这10个观察值可以任意地被从总体中抽取的其他观察值所取代。当我们想要计算样本方差时，必须先算出样本均值，设=35。此时，这10个观察值就不能任意地被总体中抽取的其他观察值所取代了。因为n=350，10个观察值的总和必须等于350。这样一来，样本中只有9个观察值可以随意改变，因为如果任意9个观察值确定了，第10个观察值也被这9个值确定了。因此在计算样本方差时自由度等于9。有效样本容量被减少为n-1，在此基础上，我们可以很好地理解为什么作为均方差的样本方差计算时，要用自由度来平均而非用n平均