UVa 10214 - Trees in a Wood.（欧拉函数）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1155

 

题意：

在满足|x|≤a，|y|≤b（a≤2000，b≤2000000）的网格中，除了原点之外的整点（即x,y坐标均为整数的点）各种着一棵树。
树的半径可以忽略不计，但是可以相互遮挡。求从原点能看到多少棵树。
设这个值为K，要求输出K/N，其中N为网格中树的总数。

 

分析：

显然4个坐标轴上各只能看见一棵树，所以可以只数第一象限（即x>0，y>0），答案乘以4后加4。
第一象限的所有x, y都是正整数，能看到(x,y)，当且仅当gcd(x,y)=1。
由于a范围比较小，b范围比较大，一列一列统计比较快。
第x列能看到的树的个数等于0<y≤b的数中满足gcd(x,y)=1的y的个数。可以分区间计算。
1≤y≤x：有phi(x)个，这是欧拉函数的定义。
x+1≤y≤2x：也有phi(x)个，因为gcd(x+i,x)=gcd(x,i)。
2x+1≤y≤3x：也有phi(x)个，因为gcd(2x+i,x)=gcd(x,i)。
……
kx+1≤y≤b：直接统计，需要O(x)时间。

 

代码：

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
    final int UP = 2000 + 5;
    int a, b, phi[] = new int[UP];
    
    void constant() {
        phi[1] = 1;
        for(int i = 2; i < UP; i++) phi[i] = 0;
        for(int i = 2; i < UP; i++) if(phi[i] == 0) {
            for(int t = i; t < UP; t += i) {
                if(phi[t] == 0) phi[t] = t;
                phi[t] = phi[t] / i * (i-1);
            }
        }
    }
    
    int gcd(int a, int b) {
        return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
    }
    
    long black() {
        long res = 0;
        for(int i = 1; i <= a; i++) {
            int k = b / i;
            res += k * phi[i];
            for(int t = k*i+1; t <= b; t++) {
                if(gcd(i,t) == 1) res++;
            }
        }
        return res * 4 + 4;
    }
    
    void MAIN() {
        constant(); // 预处理欧拉函数值
        while(true) {
            a = cin.nextInt();
            b = cin.nextInt();
            if(a + b == 0) break;
            long all = (2*a+1L) * (2*b+1L) - 1;
            System.out.printf("%.7f\n", (double)black() / all);
        }
    }
    
    public static void main(String args[]) { new Main().MAIN(); }
}