UVa 1363 - Joseph's Problem（数论）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4109

 

题意：

输入正整数n和k（1≤n，k≤1e9），计算sum(k mod i)(1≤i≤n)。

 

分析：

被除数固定，除数逐次加1，直观上余数也应该有规律。假设k/i的整数部分等于d，则k mod i = k-i*d。
因为k/(i+1)和k/i差别不大，如果k/(i+1)的整数部分也等于d，
则k mod (i+1) = k - (i+1)*d = k-i*d - d = k mod i - d。
换句话说，如果对于某一个区间i, i+1, i+2,…, j，
k除以它们的商的整数部分都相同，则k除以它们的余数会是一个等差数列。
这样，可以枚举d并把相应的等差数列之和累加到答案中，再简单讨论一下其他情况即可。

 

代码：

import java.io.*;
import java.util.*;
import static java.lang.Math.*;

public class Main {
    Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
    
    void MAIN() {
        while(cin.hasNext()) {
            long n = cin.nextLong();
            long k = cin.nextLong();
            long d = 1, ans = max(n-k,0)*k;
            for(; d * d <= k; d++) {
                long R = min(n, k/d);
                long L = k / (d+1) + 1;
                if(L > R) continue;
                ans += (k%R + k%L) * (R-L+1) / 2;
            }
            for(d = min(n,k/d); d >= 1; d--) ans += k%d;
            System.out.println(ans);
        }
    }
    
    public static void main(String args[]) { new Main().MAIN(); }
}