UVa 10213 - How Many Pieces of Land ?（欧拉公式）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1154

 

题意：

有一块椭圆形的地。在边界上选n（0≤n<2^31）个点并两两连接得到n(n-1)/2条线段。
它们最多能把地分成多少个部分？

 

分析：

本题需要用到欧拉公式：在平面图中，V-E+F=2，其中V是顶点数，E是边数，F是面数。
因此，只需要计算V和E即可（注意还要减去外面的“无限面”）。
不管是顶点还是边，计算时都要枚举一条从固定点出发（所以最后要乘以n）的对角线，
它的左边有i个点，右边有n-2-i个点。
左右点的连线在这条对角线上形成i(n-2-i)个交点，得到i(n-2-i)+1条线段。
每个交点被重复计算了4次，每条线段被重复计算了2次。

 

根据：

 

化简得：

 

代码：

import java.io.*;
import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
    Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
    final BigInteger c1 = new BigInteger("1");
    final BigInteger c2 = new BigInteger("2");
    final BigInteger c3 = new BigInteger("3");
    final BigInteger c12 = new BigInteger("12");
    
    void MAIN() {
        int T = cin.nextInt();
        while(T --> 0) {
            BigInteger n = cin.nextBigInteger();
            BigInteger one = n.multiply(n.subtract(c1)).divide(c2);
            BigInteger two = one.multiply(n.subtract(c2)).multiply(n.subtract(c3)).divide(c12);
            System.out.println(one.add(two).add(c1));
        }
    }
    
    public static void main(String args[]) { new Main().MAIN(); }
}