UVa 11971 - Polygon（几何概型 + 问题转换）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3122

 

题意：

有一根长度为n的木条，随机选k个位置把它们切成k+1段小木条。求这些小木条能组成一个多边形的概率。

 

分析：

不难发现本题的答案与n无关。在一条直线上切似乎难以处理，可以把直线接成一个圆，
多切一下，即在圆上随机选k+1个点，把圆周切成k+1段。根据对称性，两个问题的答案相同。
新问题就要容易处理得多了：“组不成多边形”的概率就是其中一个小木条至少跨越了半个圆周的概率。
设这个最长的小木条从点i开始逆时针跨越了至少半个圆周，则其他所有点都在这半个圆周之外。
除了点i之外其他每个点位于这半个圆周之外的概率均为1/2，因此总概率为1/(2^k)。
点i的取法有k+1种，因此“组不成多边形”的概率为(k+1)/(2^k)，能组成多边形的概率为1-((k+1)/(2^k))。

 

代码：

#include <cstdio>

typedef long long int LLI;

LLI gcd(LLI a, LLI b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

int main() {
    int T, n, k;
    scanf("%d", &T);
    for(int cases = 1; cases <= T; cases++) {
        scanf("%d%d", &n, &k);
        LLI b = 1LL << k;
        LLI a = b - (k+1);
        printf("Case #%d: %lld/%lld\n", cases, a/gcd(a,b), b/gcd(a,b));
    }
    return 0;
}