UVa 10900 - So you want to be a 2n-aire?（期望DP）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1841

 

题意：

在一个电视娱乐节目中，你一开始有1元钱。主持人会问你n个问题，每次你听到问题后有两个选择：
一是放弃回答该问题，退出游戏，拿走奖金；二是回答问题。
如果回答正确，奖金加倍；如果回答错误，游戏结束，你一分钱也拿不到。
如果正确地回答完所有n个问题，你将拿走所有的2^n元钱，成为2^n元富翁。
当然，回答问题是有风险的。每次听到问题后，你可以立刻估计出答对的概率。
由于主持人会随机问问题，你可以认为每个问题的答对概率在t和1之间均匀分布。
输入整数n和实数t（1≤n≤30，0≤t≤1），你的任务是求出在最优策略下，拿走的奖金金额的期望值。
这里的最优策略是指让奖金的期望值尽量大。

 

分析：

假设刚开始游戏，如果直接放弃，奖金为1；如果回答，期望奖金为（p * 答对1题后的最大期望奖金）。
用d[i]表示“答对i题后的最大期望奖金”，再加上“不回答”时的情况，可以得到：
若第1题答对概率为p，期望奖金的最大值 = max{2^0, p*d[1]}，
这里故意写成2^0，强调这是“答对0题后放弃”所得到的最终奖金。
上述分析可以推广到一般情况，但是要注意一点：到目前为止，一直假定p是已知的，
而p实际上并不固定，而是在t～1内均匀分布。可以得到：d[i] = max{2^i, p*d[i+1]}。
因为有max函数的存在，需要分两种情况讨论，即p*d[i+1]<2^i和p*d[i+1]≥2^i两种情况。
令p0=max{t, 2^i/d[i+1]}（加了一个max是因为根据题目，p≥t），则：
p<p0时，p*d[i+1]<2^i，因此“不回答”比较好，期望奖金等于2^i。
p≥p0时，“回答”比较好，期望奖金等于d[i+1]乘以p的平均值，即(1+p0)/2 * d[i+1]。
在第一种情况中，p的实际范围是[t,p0)，因此概率为p1=(p0-t)/(1-t)。
根据全期望公式，d[i] = 2^i * p1 + (1+p0)/2 * d[i+1] * (1-p1)。
边界是d[n] = 2^n，逆向递推出d[0]就是本题的答案。

 

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int UP = 30 + 5;
double d[UP];

int main() {
    int n;
    double t;
    while(scanf("%d%lf", &n, &t) && n) {
        d[n] = 1<<n;
        for(int i = n-1; i >= 0; i--) {
            double p0 = max(t, (double)(1<<i) / d[i+1]);
            double p1 = (p0-t) / (1-t);
            d[i] = p1 * (1<<i) + (1-p1) * (1+p0)/2 * d[i+1];
        }
        printf("%.3f\n", d[0]);
    }
    return 0;
}