UVa 1635 - Irrelevant Elements（二项式系数 + 唯一分解定理）

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4510

 

题意：

对于给定的n个数a1, a2,…, an，依次求出相邻两数之和，将得到一个新数列。重复上述操作，最后结果将变成一个数。
问这个数除以m的余数与哪些数无关？例如n=3，m=2时，第一次求和得到a1+a2，a2+a3，
再求和得到a1+2a2+a3，它除以2的余数和a2无关。1≤n≤1e5，2≤m≤1e9。

 

分析：

不难证明，在一般情况下，最后ai的系数是C(n-1,i-1)。这样，问题就变成了求C(n-1,0), C(n-1,1), ...,C(n-1,n-1)中
有哪些是m的倍数。理论上，利用C(n,k) = (n-k+1)/k * C(n,k-1)可以递推出所有C(n-1,i-1)，但它们太大了，
虽然可以用高精度，但是运算会很慢。然而此问题中所关心的只是“哪些是m的倍数”，所以只需要依次计算m的
唯一分解式中各个素因子在C(n-1,i-1)中的指数即可完成判断。这些指数仍然可以用上式递推，并且不会涉及高精度。

 

代码：

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    static ArrayList<Integer> prime = new ArrayList<Integer>();
    
    static void resolve(int m) {
        int u = (int)Math.sqrt(m + 0.5);
        for(int i = 2; i <= u; i++) {
            if(m % i != 0) continue;
            prime.add(i);
            while(m % i == 0) m /= i;
        }
        if(m > 1) prime.add(m);
    }
    
    public static void main(String args[]) {
        Scanner cin = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
        
        while(cin.hasNext()) {
            int n = cin.nextInt();
            int m = cin.nextInt();
            
            n--;
            boolean bad[] = new boolean[n+5];
            prime.clear();
            resolve(m);
            for(int t = 0; t < prime.size(); t++) { // 求C(n,0)~C(n,n)有哪些数是m的倍数
                int p = prime.get(t), e = 0, x = m, min = 0; // C(n,i) = p^e
                while(x % p == 0) { x /= p;  min++; }
                for(int k = 1; k < n; k++) { // C(n,k)=C(n,k-1)*(n-k+1)/k
                    x = n - k + 1;
                    while(x % p == 0) { x /= p;  e++; }
                    x = k;
                    while(x % p == 0) { x /= p;  e--; }
                    if(e < min) bad[k] = true;
                }
            }
            
            ArrayList<Integer> ans = new ArrayList<Integer>();
            for(int i = 1; i < n; i++) if(!bad[i]) ans.add(i+1);
            System.out.println(ans.size());
            if(ans.size() > 0) {
                System.out.print(ans.get(0));
                for(int i = 1; i < ans.size(); i++)
                    System.out.print(" " + ans.get(i));
            }
            System.out.println();
        }
        cin.close();
    }
}