UVa 714 - Copying Books

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=655

 

题意：

把一个包含m个正整数的序列划分成k个（1≤k≤m≤500）非空的连续子序列，使得每个正整数恰好属于一个序列。
设第i个序列的各数之和为S(i)，你的任务是让所有S(i)的最大值尽量小。
例如，序列1 2 3 2 5 4划分成3个序列的最优方案为1 2 3 | 2 5 | 4，其中S(1)、S(2)、S(3)分别为6、7、4，
最大值为7；如果划分成1 2 | 3 2 | 5 4，则最大值为9，不如刚才的好。每个整数不超过1e7。
如果有多解，S(1)应尽量小。如果仍然有多解，S(2)应尽量小，依此类推。

 

分析：

下面考虑一个新的问题：能否把输入序列划分成m个连续的子序列，使得所有S(i)均不超过x？
将这个问题的答案用谓词P(x)表示，则让P(x)为真的最小x就是原题的答案。
P(x)并不难计算，每次尽量往右划分即可（想一想，为什么）。
接下来又可以猜数字了——随便猜一个x0，如果P(x0)为假，那么答案比x0大；
如果P(x0)为真，则答案小于或等于x0。至此，解法已经得出：二分最小值x，把优化问题转化为判定问题P(x)。
设所有数之和为M，则二分次数为O(logM)，计算P(x)的时间复杂度为O(n)（从左到右扫描一次即可）。

 

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long int LLI;

int n, k, a[500+5];

bool judge(LLI L){
    int amount = 0;
    LLI sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        if(sum + a[i] > L){
            amount++;
            sum = 0;
        }
        sum += a[i];
    }
    return amount <= k - 1;
}

void output(LLI L){
    bool last[500+5]; //last[i] 表示 a[i] 是否是某个划分的最后一个元素
    memset(last, false, sizeof(last));
    int remain = k;
    LLI sum = 0;
    for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
        if(sum + a[i] > L || i + 1 < remain){
            last[i] = true;
            remain--;
            sum = 0;
        }
        sum += a[i];
    }

    for(int i = 0; i < n - 1; i++){
        printf("%d ", a[i]);
        if(last[i]) printf("/ ");
    }
    printf("%d\n", a[n-1]);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int up = -1;
        LLI sum = 0;
        scanf("%d%d", &n, &k);
        for(int i = 0; i < n; i++){
            scanf("%d", &a[i]);
            if(up < a[i]) up = a[i];
            sum += a[i];
        }

        LLI L = up, R = sum;
        while(L < R){
            LLI M = L + (R - L) / 2;
            if(judge(M)) R = M;
            else L = M + 1;
        }

        output(L);
    }
    return 0;
}