UVa 1451 - Average

链接：

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4197

 

题意：

给定一个长度为n的01串，选一个长度至少为L的连续子串，使得子串中数字的平均值最大。
如果有多解，子串长度应尽量小；如果仍有多解，起点编号尽量小。序列中的字符编号为1～n，
因此[1,n]就是完整的字符串。1≤n≤100000，1≤L≤1000。
例如，对于如下长度为17的序列00101011011011010，如果L=7，最大平均值为6/8
（子序列为[7,14]，其长度为8）；如果L=5，子序列[7,11]的平均值最大，为4/5。

 

分析：

数形结合。

先求前缀和Si=A1+A2+…+Ai（规定S0=0），然后令点Pi=(i, Si)，则子序列i～j的平均值为
(Sj-S(i-1))/(j-i+1)，也就是直线P(i-1)Pj的斜率。这样可得到主算法：从小到大枚举t，
快速找到t'≤t-L，使得Pt'Pt斜率最大。

对于给定的t，要找的点Pt'在Pt的左边。假设有3个候选点Pi、Pj、Pk，下标满
足i<j<k<t，并且3个点成上凸形状（Pj为上凸点），则Pj一定不是最优点，
换句话说，只要出现上凸的情况，上凸点一定可以忽略。

 

假设已经有了一些下凸点，现在又加入了一个点，可能会使一些已有的点变为上凸点，
这时就应当将这些上凸点删除。由于被删除的点总是原来的下凸点中最右边的若干个连续点，
所以可以用队列来实现。

 

得到下凸线之后，对于任何一个点Pt来说，最优点Pt'都在切点，
如何求切点呢？随着t的增大，斜率也是越来越大，所以每次求出的t'只会增大，不会减小。
因此每次增加到斜率变小时停下来即可。

 

代码：

#include <cstdio>

const int UP = 100000 + 5;

int sum[UP], que[UP];
char s[UP];

//L~R 的平均值为 (sum[R]-sum[L-1])/(R-L+1)
inline int compare(int x1, int x2, int x3, int x4){ //比较 x1~x2 与 x3~x4 的平均值
    return (sum[x2]-sum[x1-1]) * (x4-x3+1) - (sum[x4]-sum[x3-1]) * (x2-x1+1);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n, L;
        scanf("%d%d%s", &n, &L, s + 1);

        for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i-1] + s[i] - '0';

        int head = 0, tail = 0, ansL = 1, ansR = L;

        //que[head...tail] 为候选左端点队列
        for(int i = L; i <= n; i++){ //枚举右端点
            while(tail - head > 1 && //删除上凸点
                  compare(que[tail-2], i-L, que[tail-1], i-L) >= 0) tail--;
            que[tail++] = i - L + 1; //新的候选点

            while(tail - head > 1 && //更新切点
                  compare(que[head], i, que[head+1], i) <= 0) head++;

            int res = compare(que[head], i, ansL, ansR);
            if(res > 0 || res == 0 && ansR - ansL > i - que[head]){
                ansL = que[head];  ansR = i;
            }
        }
        printf("%d %d\n", ansL, ansR);
    }
    return 0;
}