P2168 [NOI2015]荷马史诗

P2168 [NOI2015]荷马史诗

题目描述

追逐荷马的人，自己就是影子 ——荷马

追逐影子的人，自己就是荷马 ——影子

追逐荷马的人，自己就是荷马 ——影子

追逐影子的人，自己就是影子 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》 组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有n种不同的单词，从1到n进行编号。其中第i种单 词出现的总次数为wi。Allison 想要用k进制串si来替换第i种单词，使得其满足如下要求：

对于任意的 1 ≤ i, j ≤ n ， i ≠ j ，都有：si不是sj的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的si的最短长度是多少？

一个字符串被称为k进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k − 1 之间（包括 0 和 k − 1 ）的整数。

字符串 str1 被称为字符串 str2 的前缀，当且仅当：存在 1 ≤ t ≤ m ，使得str1 = str2[1..t]。其中，m是字符串str2的长度，str2[1..t] 表示str2的前t个字符组成的字符串。

输入输出格式

输入格式：

输入的第 1 行包含 2 个正整数 n, k ，中间用单个空格隔开，表示共有 n种单词，需要使用k进制字符串进行替换。

接下来n行，第 i + 1 行包含 1 个非负整数wi ，表示第 i 种单词的出现次数。

输出格式：

输出包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

输入输出样例

输入样例#1： 

4 2
1
1
2
2

输出样例#1： 

12
2

输入样例#2： 

6 3
1
1
3
3
9
9

输出样例#2： 

36
3

说明

【样例说明 1】

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词， 01(2) 替换第 2 种单词， 10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1 × 2 + 1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2 = 12

最长字符串si的长度为 2 。

一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2)替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1 × 3 + 1 × 3 + 2 × 2 + 2 × 1 = 12

最长字符串 si 的长度为 3 。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

【样例说明 2】

一种最优方案：令 000(3) 替换第 1 种单词，001(3) 替换第 2 种单词，01(3) 替换第 3 种单词， 02(3) 替换第 4 种单词， 1(3) 替换第 5 种单词， 2(3) 替换第 6 种单词。

 

【提示】

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

【时限1s，内存512M】

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 第一眼看到这题

啥啊

思考若干分钟后……看题解

Huffman树Hufman编码都是啥啊

真神奇

 题解链接

code

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#define R register
#define mp(x, y) std::make_pair(x, y)

typedef long long ll;
typedef double db;
typedef std::pair<ll, ll> pir;
 
int n, k;
ll cnt, ans, mh, t;

std::priority_queue<pir, std::vector<pir >, std::greater<pir > >pq;

template <typename T> inline T read(T &x) {
    char ch = getchar(), f = 0; x = 0;
    while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();} 
    while (isdigit(ch)) {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    if(f) x = -x; return x;
}

int main() {
    read(n); read(k); ll t;
    for (R int i = 1; i <= n; ++ i) {
        //初始化Huffman树，建立t个高度为1的叶子节点
        read(t);
        pq.push(mp(t, 1));
    }
    //Huffman树与其他树构造方法不同,是从下至上构造
    //Huffman树不是满二叉树,如果不补全会出现靠近根结点的位置反而会空,得不到最优解
    //加入空节点使之成为满二叉树,将非空节点向上挤到更优位置
    if ((n - 1) % (k - 1)) cnt = k - 1 - (n - 1) % (k - 1);
    for (R int i = 1; i <= cnt; ++ i) 
        pq.push(mp(0, 1));
    //一共有n个节点要合并
    cnt += n;
    while (cnt > 1) {
        //将k个节点合并成一个节点
        t = mh = 0; pir h;
        for (R int i = 1; i <= k; ++ i) {
            h = pq.top();
            t += h.first;
            mh = std::max(mh, h.second);
            pq.pop();
        }
        //Huffman树保证了最短带权路径
        ans += t;
        //合并后的节点在合并前节点之上
        pq.push(mp(t, mh + 1));
        cnt -= k - 1;
    }
    std::cout << ans << std::endl;
    std::cout << pq.top().second - 1 << std::endl;
    return 0;
}