网络流

简述

网络流主要可以拿来解决一些跟有向关系相关的问题,例如液体在管道中的流动、货物的运载、网络中的信息波动等。
简单介绍一下它:在一个有向图上选择一个源点s、一个汇点t。源点只流出,汇点只流进。同时,一条边(u,v)经过的流量记为f(u,v),也有允许通过的最大流量称为容量,记为c(u,v)。(若该边不存在,则c(u,v)=0)。除了源点和汇点以外的每个店入流和出流都相等。一条边上的剩余流量(没有用完的)称为残量,即 容量-流量
因此网络流模型可以形象地描述为:在每一条边都不超过容量限制的前提下,“流”从源点源源不断地产生,最终全部归于汇点。

基本性质

  1. f(u,v)c(u,v)(容量限制)
  2. 对于任何一个不是源点或汇点的点u,总有 pEf(p,u)=qEf(u,q)
    因为入流和出流相等(流量平衡)
  3. 对于任何一条有向边(u,v),总有f(u,v)=f(v,u) (斜对称性)

最大流

先讲一下比较简单的最大流问题
直接从字面意思即可理解,从源点流到汇点的流量最大就是最大流。

算法思想:从零流(所有边的流量均为0)开始不断增加流量,保持每次增加流量后都满足以上性质(增加流量,也就是减去容量时要相应的给反向边加上等量的容量,便于反悔)。计算每条边上的残量,得到残量网络,再继续在残量网络中尝试增加流量。

增广路算法基于:残量网络中任何一条从st的有向道路都对应一条原图中的增广路——只要求出该道路中所有容量的最小值minf,把对应的所有边上的流量减去minf,在答案里加上它即可,这个过程被称为增广
显然只要残量网络中存在增广路,流量就可以增大;反之,如果不存在增广路,流量就已经最大。(增广路定理)

顺便也讲一下最大流最小割定理。

最小割

  • 割:对于一个网络流图G=(V,E),其割的定义为一种点的划分方式:将所有的点划分为ST=VS两个集合,其中源点sS,汇点tT
  • 割的容量:定义割的容量c(S,T)表示所有从ST的边的容量之和,即c(S,T)=uS,vTc(u,v)。当然也可以用c(s,t)表示割的容量。
  • 最小割:使得容量最小的割(S,T)。也可以理解为使得ST不联通所需要删去边权最小的割。

最大流最小割

  • 定理f(s,t)max=c(s,t)min
  • 证明:对于任意一个可行流f(s,t)和任意割(S,T),有:f(s,t)=S出边的总流量S入边的总流量S出边的总流量=c(s,t)。而当达到最大流时,残量网络中不存在从st的增广路,所以S的出边都是满流,上式等号成立。同时,上式的另一表达形式为f(s,t)maxc(s,t)min。又因等号可以取到,则f(s,t)max=c(s,t)min,证毕。

问题模型

一般在最小割的问题中,割掉一条边表示选择某个条件,而边权表示的是选择这个条件的价值。至于该价值的贡献是好是坏,则根据你如何使用这个价值而定。

举个例子,对于二分图,有点集U,Ve=(u,v)(uU,vV)表示u、v中至少选择一个,保证无孤立点,求最小点权覆盖集
example1
设左边为点集U,右边为点集V,如图所示连边。割掉红色边表示选择U中某个点,其点权设为valu;割掉蓝色边表示选择该边两端的点,其点权设为valu+valv;割掉橙色边表示选择V中某个点,边权设为valv。这样一来,若一条边不从s连通到t,则表示至少有一个点被选中,求得的最小割即为最小点权之和,覆盖集可通过边的使用情况求得。
事实上,我们都清楚,为了使点权之和最小化,蓝色的边是不会被割掉的。而仍然要设置它的原因,一是为了结合问题背景来建模,二是让它承担通道的角色,保证网络流图的性质。问题建模是非常值得琢磨的。

如果转换一下,边的限制变成u、v中至多选一个,求最大点权独立集。其本质相同,因为至多选一个等价于至少删去一个。由此可以看出,最大点权独立集为最小点权覆盖集的补集,其解法自然也就不言而喻了。

这里只是提供了一个参考的思路,具体的问题还要具体分析。

最小割的边数

将边权设为1重新求一遍最小割即可。

最小割集的求解

由于使用网络流解决此类问题效率较为低下,普遍使用Stoer-Wagner算法进行求解,有兴趣可自行查阅。

一些小细节

  • 存图的时候要从偶数开始存,同时存正向边和反向边(这样就可以保证正向边编号全为偶数,反向边编号为 i^1(奇偶性相反))

  • 反向边怎么用?因为找到的增广路不一定是最优的,反边给你“反悔”的机会。如果一条边边权为0,那么往回走的时候并不会对流量有所影响(走不回去)。所以一开始反边的边权应该存0。当正向边减去流过这条边的增广路上容量最小值d(此时这个值已经被加入到了答案)的时候,反向边应该加上d(因为对于源点和汇点来说中间流量的这些变化都是无差别的,为了保证反向正向相加得原边权,也就是不改变原本的条件就得这么做)

Edmonds-Karp(EK) 便是不断用BFS来寻找增广路,直到图中不存在增广路的算法。

但是如果一条一条地找出增广路,万一有一些极(毒)端(瘤)数据(比如几条相邻的边容量相差特别大),这个时间复杂度就是无法承受的。Dinic的高效之处在于它能够同时找出几条增广路.

关于最大流,我还没有讲完!当然,实际上在大部分情况下以上两个算法已经够用(我认为)。可以先跳过剩下有关最大流的算法。

(这里应该有ISAP和HLPP)

最大流/最小割 练习题

USACO4.2 草地排水

飞行员配对方案问题

USACO4.4 追查坏牛奶

圆桌问题

最小路径覆盖问题

魔术球问题

最长不下降子序列问题

方格取数问题

费用流

假如流经一条边有对应流量的花费,那么问题就可以有更多的变式了。

  • 定义一条边的费用w(u,v)表示单位流量流经所需花费的费用。即,当边(u,v)的流量为f(u,v)时,需要花费f(u,v)×w(u,v)的费用。

类似的,我们先从最小费用最大流引入。即在最大化流量的基础上使得总花费最小。
这当然和上面的最大流相关。之前寻找增广路的方式是BFS,对于EK来说,就是在边权为1的图上找到st的一条最短路。那么,将 BFS 更换为寻找最短路的算法,边权设为w(u,v),会产生什么样的效果呢?

这样的方式,既保证了最短路的性质,也保证了增广路的性质。由于每单位流到汇点的流量都要花费途经的边权之和,则最短路的性质使得了这些每次从最短路流过的流量是最划算的。在这样的情境下,反向边相当于退钱,所以要将边权设为w(u,v)

Dinic 是同时找到多条增广路的算法,只需将 BFS 更改为最短路算法的同时,限制流量只能由当前点流向到汇点的最短路上的点即可。

因为有负权边的存在,所以不能直接采用 Dijkstra ,应该采用 SPFA 或经由 Primal-Dual(原始对偶算法) 处理的 Dijkstra 。同时,由于向下走的条件发生改变,有可能会往回走,所以需要标记当前链上的点,防止陷入无限循环。

上下界网络流

无源汇上下界可行流

给定一个网络无源点汇点,且每条边的流量有上限high和下限low,问使得该网络流量平衡的一种流量方案。
没有源汇点意味着流一定要形成循环,否则不满足流量平衡的条件。
不妨假设有解,先将所有的下界强制流满(不考虑流量平衡的情况),然后考虑如何调整使得流量平衡。
设超级源点ss,超级汇点st。对于每条边e=(u,v,high,low),添加ustssv容量为low的边,将(u,v)的容量设为highlow
lowu处导走,并在v处加回便是一个强制流满下界的操作,同时不会影响到原本的网络;(u,v)的流量设为highlow是为了限制流量的上界。
接下来跑一遍从ssst的最大流,若能把所有附加的边全部跑满,则说明在满足上界限制的情况下所有的下界限制均被满足,合法方案即为每条边下界流量加上跑完这遍网络流之后所用的流量;否则无解。
一个小优化是,两个点之间无下界无费用的流可以合并。

无源汇上下界最小费用流

将后面那个最大流改成最小费用最大流即可。

有源汇上下界可行流

添加一条由汇点ts的下界为0,上界为正无穷的边即可转化为无源汇上下界可行流。
若有解,st的可行流流量即为该附加边所流的流量。

有源汇上下界最大流

一种方法是二分ts的附加边的下界,然后跑普通可行流判断合法性。
另一种方法是先附加一条无下界的正无穷的边,变成无源汇跑一遍可行流之后若存在合法方案便将其删去,在剩余的网络中跑一遍从st的普通最大流,答案为可行流的流量加上最大流得到的流量。这个也很好理解,先跑一遍可行流满足下界,之后在上界的限制下继续尝试增广得到实际的最大流。
*注意:最大流是在跑完可行流的网络上跑,不要跑到初始网络上。

有源汇上下界最小流

一种是二分ts的附加边的上界,然后跑普通可行流判断合法性。
另一种方法是先附加一条无下界的正无穷的边,变成无源汇跑一遍可行流之后若存在合法方案便将其删去,在剩余的网络中跑一遍从ts的普通最大流,答案为可行流的流量减去最大流得到的流量。简单来说,就是先找到可行的方案,再把能退回去的流都退回去。
注意事项同上。

参考

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