2020 年 7月随笔档案 - hkr04

【NOI2013】树的计数

摘要：简述给定树的

\texttt\(序和\)\texttt

$\texttt$序和$\texttt$ 序，求同时满足两者的所有树的树高平均值，保证至少有一个解。(这里树高是最大深度加1，根节点深度为0）题解首先，比较容易看出来的性质是$\texttt\(序的不同分段可以确定不同的深度方案，每一段内的节点深度相同且段与段之间深度满足深度递增阅读全文

posted @ 2020-07-29 17:08 hkr04 阅读(181) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【SDOI2016】墙上的句子

摘要：题目链接题意简述这个有点难简述。有

n

$n$ 行

m

$m$ 列的字母构成的矩阵，每一行和每一列的字符串都由下划线分隔成不同字符串单元。且在同一行由同样的阅读顺序确定的单元均同时不小于或同时不大于它的反串。有些行/列有确定的阅读顺序，则在这些行/列中的按顺序读取的单元称为单词。而部分没有确定的阅读顺序，则有阅读全文

posted @ 2020-07-21 22:43 hkr04 阅读(159) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Dinic算法

摘要：

\text\(相对\)\text\(的高效之处在于运用了**分层图**(即由满足\)\text{dep[v]=dep[u]+1}\(的边\)(u,v)

$\text$相对$\text$的高效之处在于运用了**分层图**(即由满足$\text{dep[v]=dep[u]+1}$的边$(u,v)$ 构成的子图，为有向无环图)，当考虑流向的点在分层图中深度比当前点大1 时才向那个点走，去尝试找增广路。不用担心联通性可能在这个分层图中被破坏，它在阅读全文

posted @ 2020-07-20 09:14 hkr04 阅读(248) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Edmonds-Karp算法

摘要：简单介绍一下,

\text\(是每次找到一条**经过的边数最少**的增广路进行流量增广的算法.在每轮寻找增广路的过程中，\)\text

$\text$是每次找到一条**经过的边数最少**的增广路进行流量增广的算法.在每轮寻找增广路的过程中，$\text$ 算法只考虑图中

f (u, v) < c (u, v)

$f(u, v)<c(u, v)$ 的边，任意一条能从

s

$s$ 通到

t

$t$ 的路径都是一条增广路。根据斜对称性，反边都是可以走的。记录下该路径上的最小残量和前阅读全文

posted @ 2020-07-20 09:13 hkr04 阅读(573) 评论(0) 推荐(0) 编辑

替罪羊树 (Scapegoat Tree)

摘要：简述二叉搜索树是一种满足对于每个节点，其左儿子权值小于其权值，右儿子大于其权值的树形结构。它在随机情况下能表现较优秀，但如果数据使得树形结构变得非常不平衡，其复杂度就会大幅度退化。这时候为了保证其平衡性质，各种平衡树应运而生。替罪羊树是其中一种优雅的暴力，它的中心思想是当某一个节点不够平衡的时候立阅读全文

posted @ 2020-07-14 22:15 hkr04 阅读(477) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Miller-Rabin 质数检测

摘要：简述枚举

2\sim \sqrt

$2\sim \sqrt$ 中的整数判断

n

$n$ 是否为质数的方法在

n

$n$ 特别大的时候就失去了其价值，

\texttt

$\texttt$ 素数检测利用了一些质数的性质在一个错误概率非常小的前提下进行判断。费马小定理

(Fermat's little theorem)

$(\texttt{Fermat's little theorem})$ 当

a

$a$ 不被质数$ 阅读全文

posted @ 2020-07-09 22:24 hkr04 阅读(526) 评论(0) 推荐(0) 编辑

杜教筛

摘要：简述杜教筛是一种小于线性时间复杂度的求积性数论函数前缀和的算法，它利用了积性函数的性质和数论分块将前缀和进行递推。实际上很多数论相关的题目可以在线性时间内跑过，杜教筛也是一种优化的方法，它的基础建立于狄利克雷卷积&莫比乌斯反演之上。积性函数定义我们将对于$\forall a,b,a\perp 阅读全文

posted @ 2020-07-06 22:29 hkr04 阅读(405) 评论(0) 推荐(0) 编辑

狄利克雷卷积&莫比乌斯反演

摘要：简述从某种意义上来说，莫比乌斯反演可以看作是在数论函数上的容斥。当然，它有多种形式，要视具体情况分析。由于其与狄利克雷卷积息息相关，因此我把它们放在一块写。前置知识取整函数的性质常见的数论函数关于取值个数的问题（用于证明数论分块的时间复杂度） \(\forall n\in N_+,|\{ 阅读全文

posted @ 2020-07-05 22:04 hkr04 阅读(231) 评论(0) 推荐(0) 编辑

取整函数的性质

摘要：我们通常将

y = [x]

$y=[x]$ 或

y = ⌊ x ⌋

$y=\lfloor x \rfloor$ 记作关于

x

$x$ 的取整函数,也称为高斯函数,其意义是不超过x的最大整数

Lemma 0:

$\text{Lemma 0:}$

⌊ b ⌋ \leq b < ⌊ b ⌋ + 1

$\lfloor b \rfloor \le b<\lfloor b \rfloor+1$ \(\text{Lemma 阅读全文

posted @ 2020-07-05 21:12 hkr04 阅读(1817) 评论(0) 推荐(1) 编辑

常见的数论函数

摘要：单位函数:

ϵ (n) = [n = 1] = {\begin{cases} 1, n = 1 \\ 0, n \neq 1 \end{cases}

$\epsilon(n)=[n=1]=\begin{cases}1,n=1\\0,n\neq1\end{cases}$ 除数函数:

σ_{k} (n) = \sum_{d | n} d^{k}

$\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k$ Euler函数(欧拉函数): \(\varphi(n)=\sum_{i=0}^{n-1}[g 阅读全文

posted @ 2020-07-05 20:23 hkr04 阅读(597) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【NOI2010】能量采集

摘要：题意简述求：

2\sum_^n\sum_^m(gcd(i,j)-1)=-nm+2\sum_^n\sum_^mgcd(i,j)

$2\sum_^n\sum_^m(gcd(i,j)-1)=-nm+2\sum_^n\sum_^mgcd(i,j)$ 题解先说一个有点巧妙的变化,等会要用到(下面的k是给出的定值)。首先有一个简单的结论:

ϵ (n) = \sum_{d | n} μ (d)

$\epsilon(n)=\sum_{d|n}\mu(d)$ 也可表阅读全文

posted @ 2020-07-05 20:10 hkr04 阅读(86) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【luoguP2664】树上游戏

摘要：题目链接题解考虑对于一个节点，其所有的路径分为两种：经过根节点和不经过根节点。运用点分治就可以每次计算对于当前树而言，经过根的总贡献。而剩余没有经过根的部分，则在删到根节点形成新的树之后递归求解，这样一定是可以做到不重不漏的。接下来，就该考虑如何统计贡献。假设先将根节点定为起点，那么在一条路径阅读全文

posted @ 2020-07-03 18:44 hkr04 阅读(110) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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