Dinic算法

\(\text{Dinic}\)相对\(\text{EK}\)的高效之处在于运用了分层图(即由满足\(\text{dep[v]=dep[u]+1}\)的边\((u,v)\)构成的子图，为有向无环图)，当考虑流向的点在分层图中深度比当前点大1 时才向那个点走，去尝试找增广路。不用担心联通性可能在这个分层图中被破坏，它在之后的分层中还是会考虑到的；不需要在意这条增广路是否为最优，只要走就是了，反正还是有反悔的机会的。
时间复杂度:\(O(n^2m)\)，实际运用远达不到这个上界，一般能处理\(10^4\)~\(10^5\)规模的网络。

怎么实现呢？

1. 在残量网络上使用BFS构造分层图
2. 在分层图上使用DFS尝试寻找增广路，并且实时更新每条边的容量
3. 重复执行1.2直到分层图中s不能到达t（没有增广路）为止

在优化\(\text{BFS}\)次数之后，我们还可以进行优化——当前弧优化。

对于在不同的分层图进行\(\text{DFS}\)的过程中，不重复走之前走过的满流的边，因为再走下去终究会卡住，是白做工。可以用一个数组\(\text{cur}\)记录一下当前点更新到哪条边了，具体看代码。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn=10000+10;
const int maxm=100000+10;
const int INF=0x3f3f3f3f; 
int cur[maxn],head[maxn],nxt[maxm<<1],to[maxm<<1],val[maxm<<1];//因为还要存反向边，所以要开两倍 
int dep[maxn],inq[maxn];
int n,m,s,t;
int tot=1;
struct Queue
{
	int a[maxn];
	int l,r;
	Queue() {l=1,r=0;}
	void push(int x) {a[++r]=x;}
	void pop() {l++;}
	int front() {return a[l];}
	bool empty() {return l>r;}
}q;

inline int min(int x,int y) {return x<y?x:y;}
void add(int u,int v,int w)
{
    nxt[++tot]=head[u];
    head[u]=tot;
    to[tot]=v;
    val[tot]=w;
}
bool bfs()
{
    memset(dep, 0x3f, sizeof(dep));
    dep[s]=0;
    q=Queue();
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for (int i=head[u];i;i=nxt[i])
        {
            int v=to[i];//通向的点 
            if (val[i]&&dep[v]>dep[u]+1)//如果容量不为0且在u点之前还没有被搜到
            {
                dep[v]=dep[u]+1;
                q.push(v);
            }
        } 
    }
    return dep[t]<INF;//只要汇点被搜到了，就还有增广路 
}
int dfs(int u,int minf)//当前位置和目前搜到的最小剩余容量
{
    if (u==t)//到达汇点
        return minf;//返回值不为0即说明可以增广

    int used=0;//该点已经使用了的流量
    for (int &i=cur[u];i;i=nxt[i])//这里取址是顺便更新cur
    {
        int v=to[i];
        if (val[i]&&dep[v]==dep[u]+1)
        {
        	int flow=dfs(v, min(minf-used, val[i]));//能流到t的流量 
            if (flow)
            {
                used+=flow;
                val[i]-=flow;
                val[i^1]+=flow;
                if (used==minf)//该点已达最大流量，不用继续找了 
                    break; 
            }
        }
     }
     return used;//返回该点已使用流量 
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u, v, w),add(v, u, 0);
    }
    int flag=0,maxflow=0; 
    while(bfs())
    {
    	for (int i=1;i<=n;i++)//新的分层图要重新开始
    		cur[i]=head[i];
    	maxflow+=dfs(s, INF);
    }
    printf("%d\n",maxflow);
    return 0;
}