狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)

狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)

狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)亦称偏序集分解定理,是关于偏序集的极大极小的定理,该定理断言:对于任意有限偏序集,其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真,它断言:对于任意有限偏序集,其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目。

对偶形式比较常见,下面将给出简明证明。

:对于偏序集 (S,) ,若 ASA 中元素均可以比较,则称 A 为链。
反链:对于偏序集 (S,) ,若 ASA 中元素均不可以比较,则称 A 为反链。

注意反链并不代表在偏序集的 Hass 图中反向边构成的链。

设偏序集最长链长度为 n,则偏序集构造的反链划分中反链数 n。这是由于若反链数 <n,则由抽屉原理知,至少有两个在同一条最长链的元素在一条反链中,与反链的定义相悖。

下用数学归纳法证 n 为不相交反链数下确界。

n=1 时,显然 S 中两两元素均不可比较,显然可得。

n=k 时,可将 S 划分为不相交的 k 个反链。

n=k+1 时,令 AS 中极大元的集合,由极大元的定义,显然 A 构成一个反链。而 SA 的最长链长度为 k(相当于把每条链末端元素拿走),则由 SA 构造出 k 条不相交反链,ASA=ϕA 肯定不与这 k 条反链相交,且这 k+1 条反链为 S 的一个划分。

k+1 条反链由此构造出来。证毕。

将对偶形式证明完之后,可以把可比较与不可比较的定义交换(两个元素中只能存在两个中的一个关系),即可将反链的构造为新的链,代入对偶形式即可证得最长反链长度等于最小链划分中链的数目。

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