狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)

狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目。

对偶形式比较常见，下面将给出简明证明。

链：对于偏序集 $(S, \preceq)$ ，若 $A\subset S$ 且 $A$ 中元素均可以比较，则称 $A$ 为链。
反链：对于偏序集 $(S, \preceq)$ ，若 $A\subset S$ 且 $A$ 中元素均不可以比较，则称 $A$ 为反链。

注意反链并不代表在偏序集的 Hass 图中反向边构成的链。

设偏序集最长链长度为 $n$ ，则偏序集构造的反链划分中反链数 $\ge n$ 。这是由于若反链数 $<n$ ，则由抽屉原理知，至少有两个在同一条最长链的元素在一条反链中，与反链的定义相悖。

下用数学归纳法证 $n$ 为不相交反链数下确界。

当 $n=1$ 时，显然 $S$ 中两两元素均不可比较，显然可得。

设 $n=k$ 时，可将 $S$ 划分为不相交的 $k$ 个反链。

当 $n=k+1$ 时，令 $A$ 为 $S$ 中极大元的集合，由极大元的定义，显然 $A$ 构成一个反链。而 $S-A$ 的最长链长度为 $k$ （相当于把每条链末端元素拿走），则由 $S-A$ 构造出 $k$ 条不相交反链， $A\cup S-A=\phi$ ， $A$ 肯定不与这 $k$ 条反链相交，且这 $k+1$ 条反链为 $S$ 的一个划分。