洛谷 P2123 皇后游戏

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洛谷 P2123 皇后游戏

分析

显然 $c_n$ 为最大值。

考虑使用邻项微扰，原本的第 $n-1$ 项编号为 $i$，第 $n$ 项编号为 $j$。设前 $n-2$ 项的 $a_k$ 之和为 $s$。

交换前，

$$\begin{aligned} c_{n-1} = &\max(c_{n-2}, s+a_i)+b_i\\ = & \max(c_{n-2}+b_i, s+a_i+b_i),\\ \\ c_n=&\max(c_{n-1}, s+a_i+a_j)+b_j\\ =&\max(c_{n-2}+b_i+b_j, s+a_i+b_i+b_j, s+a_i+a_j+b_j) \end{aligned}$$

交换后，$c_n'=\max(c_{n-2}+b_i+b_j, s+a_j+b_i+b_j, s+a_i+a_j+b_i)$。

若交换不会使得答案变得更优，即 $c_n\le c_n'$。

$$\begin{aligned} & \max(c_{n-2}+b_i+b_j, s+a_i+b_i+b_j, s+a_i+a_j+b_j)\le \max(c_{n-2}+b_i+b_j, s+a_j+b_i+b_j, s+a_i+a_j+b_i)\\ \Leftrightarrow &\max(s+a_i+b_i+b_j, s+a_i+a_j+b_j)\le \max(s+a_j+b_i+b_j, s+a_i+a_j+b_i)\\ \Leftrightarrow &\max(a_i+b_i+b_j, a_i+a_j+b_j)\le \max(a_j+b_i+b_j, a_i+a_j+b_i)\\ \Leftrightarrow &a_i+b_j+\max(b_i, a_j)\le a_j+b_i+\max(b_j, a_i)\\ \Leftrightarrow &a_i+b_j-\max(b_j, a_i)\le a_j+b_i-\max(b_i, a_j)\\ \Leftrightarrow & \min(b_j, a_i)\le \min(b_i, a_j) \end{aligned}$$

这并不是一个合格的 偏序关系，因为没有 传递性，所以不能直接套用该关系作为比较函数进行排序。

进一步地推导，可以将该关系抽象为 $a_i=\min(a_i, b_i, a_j, b_j)\vee b_j=\min(a_i, b_i, a_j, b_j)$。

将数据分成下标统一的两组 $(a_i, b_i),(a_j, b_j)$，只需要比较两组之间的最小值即可。

1. $a_i\le b_i,a_j\le b_j$

若 $a_i\le a_j$，则 $a_i=\min(a_i, b_i, a_j, b_j)$；否则 $a_j=\min(a_i, b_i, a_j, b_j)$。

2. $a_i\le b_i,a_j\ge b_j$

最小值一定为 $a_i,b_j$ 之一，令 $i$ 在 $j$ 前。

3. $a_i\ge b_i,a_j\le b_j$

最小值一定为 $a_j,b_i$ 之一，令 $j$ 在 $i$ 前。

4. $a_i\ge b_i,a_j\ge b_j$

若 $b_i\le b_j$，则 $b_j=\min(a_i, b_i, a_j, b_j)$；否则 $b_i=\min(a_i, b_i, a_j, b_j)$。

这样一来，我们把整个序列分成两块，前面一块为 $a_i\le b_i$，后面一块为 $a_i> b_i$；在块中的关系具有传递性。按照这种比较方式进行排序，可以确保 $\forall p_i<p_j,\min(b_j, a_i)\le \min(b_i, a_j)$，$p_i$ 为 $i$ 所在位置。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+10;
const ll INF=1LL<<60;
struct node {
	int x,y;
    bool s;
	bool operator<(const node &b)const{
        if (s!=b.s)
            return s;
		return s?x<b.x:y>b.y;
	}
}p[maxn];
int read() {
	int res=0,p=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {
		if (ch=='-')
			p=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
		res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
	return res*p;
}
int main() {
    int T=read();
    while (T--) {
        int n=read();
        for (int i=1;i<=n;i++)
            p[i].x=read(),p[i].y=read(),p[i].s=p[i].x<=p[i].y;
        sort(p+1, p+1+n);
        ll ans=p[1].x+p[1].y,sum=p[1].x;
        for (int i=2;i<=n;i++) {
            sum+=p[i].x;
            ans=max(ans, sum)+p[i].y;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
	return 0;
}