编译原理课后习题答案令A,B和C是任意正规式,证明以下关系成立(A|B)*=(A*B*)*=(A*|B*)*

题目：

令A、B和C是任意正规式，证明以下关系成立：

    A∣A=A

    (A*)*= A*

        A*=ε∣A A*

       (AB)*A=A(BA)*

       (A∣B)*=(A*B*)*=(A*∣B*)*

    A=b∣aA当且仅当A=a*b

解答：

（1）、A∣A=A

        L(A∣A)=L(A)∪L(A)=L(A)，所以有A∣A=A。

（2）、(A*)*= A*

       

（3）、A*=ε∣A A*

        通过证明两个正规式所表示的语言相同来证明两个正规式相等。

        L(ε∣A A*)=L(ε)∪L(A)L(A*)= L(ε)∪L(A)(L(A) )*

        =L(ε)∪L(A)((L(A))⁰∪(L(A))¹∪(L(A))²∪(L(A))³∪…)

        =L(ε)∪(L(A))¹∪(L(A))²∪(L(A))³∪(L(A))⁴∪…

        =(L(A))*=L(A*)

        即：L(ε∣A A*)=L(A*)，所以有：A*=ε∣A A*

（4）、(AB)*A=A(BA)*

        利用正规式的分配率和结合律直接推导。

        (AB)*A=((AB)⁰∣(AB)¹∣(AB)²∣(AB)³∣…)A

        =εA∣(AB)¹A∣(AB)²A∣(AB)³A∣…

        =Aε∣A (BA)¹∣A (BA)²∣A (BA)³∣…

        =A(ε∣(BA)¹∣(BA)²∣(BA)³∣…)

        =A(BA)*

        即：(AB)*A=A(BA)*

（5）、(A∣B)*=(A*B*)*=(A*∣B*)*

证明:先证(A∣B)*=(A*B*)*

因为L(A)L(A) *L(B) *,L(B)  L(A) *L(B) *

故:L(A) ∪L(B) L(A) *L(B) *

于是由本题第二小题结论可知(L(A)∪L(B)) *(L(A) *L(B)*)*      ①

又L(A)L(A)∪L(B),  L(B) L(A)∪L(B)

故:L(A)*(L(A)∪L(B))*

   L(B)*(L(A)∪L(B))*

因此有:L(A)*L(B)* (L(A)∪L(B))* (L(A)∪L(B))*=( (L(A)∪L(B))*) ²

故(L(A)*L(B)*)*((L(A)∪L(B))*)*

由本题第二小题得: ((L(A)∪L(B))*)*= (L(A)∪L(B)) *

故得: (L(A)*L(B)*)*(L(A)∪L(B)) *             ②

则由①②得: (L(A)∪L(B)) *=(L(A)*L(B)*)*

由于L((A*B*))*=(L(A*B*))*=(L(A*)L(B*))*=(L(A)*L(B)*)*

即有(L(A)∪L(B))*=L((A*B*))*               ③

而(A|B)*对应的语言为(L(A)∪L(B))*,且(A*B*)*对应的语言为L((A*B*))*

则根据③得(A|B)*=(A*B*)*

再证:(A*|B*)*=(A*B*)*

因为:A,B是任意正规式,由以上结论得: (A*|B*)*=((A*)*(B*)*)*

又由本题第二小题目的结论可得：（A*）*=A*，（B*）*=B*

因此，（A*|B*）*=（A*B*）*

综合上述两种结论，最后得：(A∣B)*=(A*B*)*=(A*∣B*)*