杜教筛

其实不是什么特别毒瘤的东西

用于求F = ∑ⁿ_{i = 1}  f(i)

然鹅F如果难算的话

就找到好计算的 G，H

使得f * g = h

那么

∑ⁿ_{i = 1}  （f * g）(i) = ∑ⁿ_{j = 1} g(j) * ∑^{n / i}_{k = 1}  f(k) 

∑ⁿ_{i = 1}   (f * g) (i) = ∑ⁿ_{i = 1} h(i) 

则可合并移项得出F的表示

比较常见的是 mu 和 phi

 

mu : F(n) = 1 - ∑ⁿ_{i = 2} F(n / i); 

phi : F(n) = n * (n + 1) / 2 - ∑ⁿ_{i = 2} F(n / i);

 

模板题

这道题用到了一个很妙的结论

n以内两两互质的数对个数

S(n) = ∑ⁿ_{i = 1} ∑ⁿ_{j = 1} [gcd(i, j) == 1]

        = ∑ⁿ_{d = 1} μ(d)  * (n / d); 下取整

所以n以内欧拉函数和就是 ((S(n) - 1) / 2) + 1;

链接 ： 【模板】杜教筛（Sum）

附上代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 2e6;
bool ism[N];
int prm[N], ps;
int mu[N];
map<int, long long> sm;

void sieve(){
    mu[1] = ism[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++){
        if(!ism[i]) mu[i] = -1, prm[++ps] = i;
        for(int j = 1; j <= ps && prm[j] * i < N; j++){
            ism[prm[j] * i] = 1;
            if(!(i % prm[j])) break;
            mu[i * prm[j]] = -mu[i];
        }
    } 
    for(int i = 2; i < N; i++)
        mu[i] += mu[i - 1];
}

long long sum_mu(int x){
    if(x < N) return mu[x];
    if(sm.count(x)) return sm[x];
    int i = 2, j; 
    long long ret = 1;
    while(i <= x){
        j = x / (x / i);
        ret -= (long long)(j - i + 1) * sum_mu(x / i);
        i = j + 1;
    }
    return sm[x] = ret;
}

long long sum_phi(int x){
    long long ret = 0;
    long long i = 1, j;
    while(i <= x){
        j = x / (x / i);
        ret += (x / i) * (x / i) * (sum_mu(j) - sum_mu(i - 1));
        i = j + 1;
    }
    return ((ret - 1) >> 1) + 1;
}

int main(){
    sieve();
    int T; scanf("%d", &T);
    int x;
    long long a1, a2;
    while(T--){
        scanf("%d", &x);
        a1 = sum_mu(x); a2 = sum_phi(x);
        printf("%lld %lld\n", a2, a1);
    }
    return 0;    
}