正睿19暑期B班DAY3 组合数学再放送

持续掉线……重连中……[fail:因为太菜]……

容斥原理

好吧其实它就是长这样的东西的变种

\[\sum_{S \subseteq U} f(S) (-1)^{|S| + 1} \]

然后我们用它来计算一下欧拉函数公式

众所周知，欧拉函数就是1~n中与n互质的数

如果\(n = p_1 ^ {r_1} * p_2^{r_2}……*p_m^{r_m}\)

那么补集转换一波，欧拉函数可以看作\(n - |p_1的倍数 \cup p_2的倍数 \cup ……\cup p_m的倍数|\)

看到这个东西 我们觉得十分熟悉，就把它变成

\(\sum_{T \in [n]} (-1)^T |\cap_{i \in T} S_i|\)

因为\(|\cap_{i \in T} S_i| = \frac{n}{\prod_{i \in T}p_i}\)

所以原式$ \ = \sum_{T \in [n]} (-1)^T \frac{n}{\prod_{i \in T}p_i}$

又因为\(\prod_{i = 1}^{n} (1 + x_i) = \sum_{S \in [n]}(\prod_{i \in S} x_i)\)

所以原式 \(= \sum_{T \in [n]} (-1)^T \frac{n}{\prod_{i \in T}p_i}\)

$ = n \sum_{T \in [n]} (-1)^T \frac{1}{\prod_{i \in T}p_i}$

$ = n\prod_{i = 1}^{m} (1 - \frac{1}{p_i})$

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• 已知\(x_1 + x_2 + …… + x_n = A, 0 \leq x_i \leq C_i\)

  求有多少组解

如果是问\(p \leq x_i\)的话就很好办 先强行去掉p就好了

比如要求\(1 \leq x_1\)其他\(x_i\)无限制的话

就相当于解所有\(x_i\)都无限制的\(x_1 + x_2 + ... + x_n = A - 1\)

然后把解得的\(x_1\)加上一就好了

所以这里 \(0 \leq x_i \leq C_i\)的解法就是

ans = 无限制解数 - 只限制\(C_1 \leq x_1\)解数 - 只限制\(C_2 \leq x_2\)解数 - ....... + 只限制\(C_1 \leq x_1\)且\(C_2 \leq x_2\)解数 + 只限制\(C_2 \leq x_2\)且\(C_3 \leq x_3\)解数 + .....

这样容斥下去就行了

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• 有一个长度位为n - 1的由"<"和">"组成的序列

  你需要计算使得 p[i]<p[i+1] 当且仅当 s[i] 为 < 的排列 p的数量

  n<=10^5

如果这个序列里只有"<"就很好办 递增就好了嘛

考虑把所有">"变成无限制 得到的排列集合显然包含原来">"在时的排列

而这个集合里多出来的排列 就是该">"变成"<"后的合法排列

那么就可以容斥了

考虑若干个">"变成"<"合法数量

被变成无限制的">"就把原生的次生的"<"划分成了一些连续"<"区间

比如这个序列 < < ? ? < ? < 就被划分成A < B < C | D | E < F | G < H

每个区间里的元素是递增的（比如第一个区间里A < B < C）

所以这时排列的种类数就是\(\frac{n!}{len_1!len_2!...len_k!}\)（k是被划分成的区间数）

ans = 所有">"变成无限制合法数量 - 一个">"变成"<"，其他">"变成无限制合法数量 + 两个">"变成"<"，其他">"变成无限制合法数量 .....

然而\(n \leq 1e5\) 事情就变得尴尬起来

考虑每一个">"变成"<"之后会对系数贡献-1 变成"="会贡献1（所谓贡献-1就是让系数乘上-1）

那么推一推就可以发现一件有趣的事情

\(f[i] = \sum f[j] \frac{1}{(i - j)!} (-1)^{j + 1 -> i - 1位置之间的">"数量}\)(f[i]表示第i个">"之前的答案，也就是截至第k个区间)

最后答案就是\(n! f[k]\)

p.s. dls说到了个很有趣的东西

随机1~n的排列的大小关系 和随机n个(0, 1)实数的大小关系是等价的

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• SetAndSet

  有n个数，n<=50，要分成⾮空的两组，对每组把所有数and起来。要使得结果⼀样。⽐如{1,2,3,4}，那么{1,2},{3,4}的分组是合法的，因为1 and 2 = 0 ,3 and 4 = 0。

  每个数<=2^20。

补集转换。考虑怎么才能不一样呢？对于某一位，序列可以看作由0，1组成。

如果要不同的话 划分至少要在一位一侧有一，另一侧全是零

然而这个很好统计 并查集+搜索枚举就可以了

对于每一种情况的结果都是\(2^{连通块个数} - 2\)

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• Min-Max容斥

\(max(x_1, x_2, x_3, ... , x_n) = x_1 + x_2 + ... + x_n - min(x_1, x_2) - min(x_2, x _3) ...\)

这个东西常常被用在期望的计算中

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• 每次产⽣S的概率为p(S)，并问全集的期望步数。 |U|<=20

一个集合被产生的期望步数，就是它里面最后一个元素被产生的期望步数

那么\(E[max_{i = 1}^{n} x_i] = \sum_{T \subset [n],T \neq \emptyset}(-1)^{|T|}E[min_{i \in T}x_i]\)

而T中第一个元素被选到的概率

就是T所有子集或者与T相交的集合中被选到一个的概率

但与T相交的集合非常不好算

所以把它变成选择不是上述以外其他集合的概率

也就是\(1 - \sum_{S \subset U\T}P(S)\)

期望步数就是\(\frac{1}{1 - \sum_{S \subset U\T}P(S)}\)

补充一下集合前缀和的求法

for(int i = 0; i < n; ++i)
    for(int S = 0; S <= (2 << n) - 1; ++S)
        if(S & (1 << i)) f[S] += f[S - (1 << i)];

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• 一个课件有n道题，每次再放送会以p概率讲到

  求讲遍所有题的再放送期望次数

这道题和上一道极为类似

\(ans = \sum_{i = 1}^{n} (-1)^{i} \tbinom{n}{i} \frac{1}{1 - (1 - p)^i}\)

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• 「PKUWC2018」随机游走

题面link

看到遍历..期望..就四舍五入是Min-Max啦

大致思路就是递推出每个点被走到的期望+Min-Max容斥

小菜鸡我比较感兴趣的是递推那部分

（以下式子建议手推一下，直接看不易理解）

快乐高消的时候我们有\(f_u = 1+ \frac{1}{d_u}(\sum_{v \in ch[d]}f_v + f_{fa})\)

复杂度\(O(2^n n^3)\)

强行\(f_u = A_u f_{fa} + B_u\)

则移项一下有\((1 - \frac{\sum A_v}{d_u})f_u = \frac{1}{d_u}f_{fa} + \frac{1}{d_u}\sum B_v + 1\)

然后我们的叶子有\(f_v = f_{fa} + 1\) 有A，B，而根有f[root] = 0

所以从下向上收获一波A， B，再从上到下收获f[]就好啦

复杂度\(O(2^n n)\)

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• 有⼀个完全图每条边红⿊染⾊，求同⾊三⻆形个数。

这道题好妙啊，对于异色三角形，它有两个角是两边异色的

所以\(\sum_{i = 1}^{n} (i连的红边数) * (i连的黑边数)\)就是异色三角形数，用所有三角形数减一下就是答案了

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• 插播：众所周知对于一个环上的n个点 随便钦点三条线段 它们会有如下五种关系

（设它们从左到右是A, B, C, D, E）

那么已知n（\(n \leq 1e5\)） 求D，E方案数之和

疯狂暗示这道题和上一道有某些联系

如果把线段当成点，相交的线段之间连红边，不相交的连蓝边 那么A, D, E就是同色三角形，又因为我们可以大力排列组合统计A，所以就能得到D，E了

据说数三角形可以树状数组二维数点？

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• 连通图计数（有标号）

\(f(n) = 2^{\tbinom{n}{2}} - \sum_{i = 1}^{n - 1} \tbinom{n - 1}{i - 1}f(i) 2^{\tbinom{n - i}{2}}\)

欧拉图计数（有标号）

$ f(n) = 2^{\tbinom{n - 1}{2} - \sum_{i = 1}^{n - 1} \tbinom{n - 1}{i - 1} \ f(i) 2^{\tbinom{n - i - 1}{2}}}$

首先对于连通图计数，用全集减去所有不连通的图

对于不连通的图，枚举1所在的连通块（即\(\tbinom{n - 1}{i - 1}f(i)\)）

其中f(i)表示大小为i的连通图有多少个

然后剩下的n - i个点不与这个块联通 随便连边就好了（即\(2^{\tbinom{n - i}{2}}\)）

对于欧拉图计数，因为要求所有点度数为偶数，

所以可以看作构造好n-1个点的图后

（未必是连通图，而且对于任意一个图奇数度数点个数一定是偶数个）

点n向所有度数为奇数的点连边

所以类似于连通图 去掉不连通的欧拉图就好啦

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• \([0, 2^n - 1]\)中选m个不同的数，使他们xor和为0的方案数（有序）

\(ans = \tbinom{2^n}{m - 1} - (m - 1)f[m - 2](2^n - m + 2)\)

其实这么写更容易理解

\(f[m - 2](2^n - m + 2)(m - 1)\)

这三部分分别表示取了一个m-2的方案，此时还有\((2^n - m + 2)\)个数可取

最后与倒数第二个数重复的第m个数可以放在任意位置(共m - 1个位置)

无序的话 除以\(m!\)就好了

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• bzoj2196

  link

  有N个点（编号1到N）组成的无向图，已经为你连了M条边。请你再连K条边，使得所有的点的度数都是偶数。求有多少种连的方法。要求你连的K条边中不能有重边，但和已经连好的边可以重。不允许自环的存在。求连边的方法数。

  N≤1000，M≤N，K≤1000，K≤N(N-1)/2

\(f[i][j]\)表示选了i条边，j个奇点

\(f[i][j] = \tbinom{j+2}{2}f[i - 1][j + 2] + (n - j) \ j \ f[i - 1][j] + \tbinom{n - j + 2}{2}f[i - 1][j - 2] - (i - 1)(\tbinom{n}{2} - (i - 2))f[i - 2][j]\)

最不好理解的就是\((i - 1)(\tbinom{n}{2} - (i - 2))f[i - 2][j]\)

它和上题一样 是故意取重边 其实这么写更容易理解

\(f[i - 2][j](\tbinom{n}{2} - (i - 2))(i - 1)\)

这三部分分别表示取了一个i-2的方案，此时还有\((\tbinom{n}{2} - (i - 2))\)条边可取，当然这也是有序的

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• 小星星

(link)[https://loj.ac/problem/2091]

p.s.这道题是周老师讲的啊，冤有头债有主啊

关于映射的定义，如果有蒟蒻如我不知道的话，题干里很贴心地hint了一下

“现在饰品中两颗小星星有细线相连，那么要求对应的小星星原来的图纸上也有细线相连。”

然后我们手玩一下。。。这是个乱七八糟的什么东西？怎么统计报警了？

众所周知，乱七八糟的东西用动态规划，不好统计的东西用容斥。

\(f[T][i][j]\)表示以i为根的子树可以映射到图中，并且不映射到T中的点上

于是有转换\(f[i][j] = \sum_{p \in ch[i],q \in V[j]} f[p][q]\)

然后我们可以快乐容斥\(\sum_{T \subset [n]} \sum_{i \in [n]\T} (-1)^{|T|} f[T][root][i]\)

看起来很有道理是不是？

有锅都是周老师的就这样

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• 凸包面积期望

之前敦爷讲过一个边在凸包上概率的计算（即所有点在它的一边

凸包面积等于凸包上相邻点的叉积和，那么枚举一条边两个点

求出这条边在凸包上的概率，再乘上两端点向量的叉积即可

如果有三点共线的话记得处理一下

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• Orienteering

  ⼀个n*m⽹格图，⾥⾯有⼀个四联通块构成了树，其他都是障碍。有不超过300个checkpoint。随机选取k个checkpoint，求通过这k个点最短路径的期望。

  n,m<=50

这个树可以看作由|checkpoint|个点构成的边权为1的树

这条路径是由绕着轮廓线走一圈，去掉最远两点之间路径构成的

一条边对轮廓线贡献的期望是（因为长度为1所以数值上等于概率）

\(2(\frac{\tbinom{n}{k} - \tbinom{size_l}{k} - \tbinom{size_r}{k}}{\tbinom{n}{k}})\)

\(size_l\)和\(size_r\)表示这条边左右所连子树的大小

然后考虑这条边对最远路径的贡献

如果(x, y)是最远路径 那么说明对于树上的任意一点i

满足\(dis(x, i),dis(y, i) \leq dis(x, y)\)

设对于(x, y)有t个这样的点 那么这条边的贡献期望就是\(\frac{\tbinom{t}{k - 2}}{\tbinom{n}{k}}\)

注意还会有最远路径重复的情况 这时让编号最小的点来做最远路径端点就好了

在选点的时候加一个判定即可

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• Company Acquisitions

  有若⼲个公司，每个公司可能是根节点，也可能依附于某个根节点。 每次随机选两个根节点，然后让他们互怼。互怼失败的点归附胜者，它的儿子背离他而去成为独立的父节点。问期望多少步还剩⼀个节点。

似乎这是一道ppt朗读讲评题，那就直接贴ppt吧

假设每个东⻄对答案的贡献独⽴的，记c(x)表示有x个⼦公司对答案的贡献。

我们有\(c(x)+c(y)=1+1/2(c(x+1)+y*c(0))+ 1/2(c(y+1)+x*c(0))\)

可以分离变量得到$c(x)=1/2(c(x+1)+x*c(0)) $

边界： \(c(n-1)=0\)。然后进行一波大力递推。

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• Segment

  有⼀个[1,n]的线段，每次随机选取⼀个中点，然后将其分成左右

  两边[1,x],[x+1,n]递归下去，形成⼀个线段树的结构。

  q个询问，每次问区间[l,r]在线段树中期望会访问⼏个节点。

  n, q<=1e6

关键的问题是怎么把树节点的贡献独立掉，然后使用线性性

假装我们知道了这个树长什么样子

那么对于区间[l, r]

惊喜地发现被访问的节点数等于

与[l, r]相交的区间或严格包含[l, r] - 被[l, r]包含且非叶子 + 叶子数（即r - l + 1）

对于后两项我的理解如下

如果一个子树被完全覆盖 那么只会访问它的根

而在二叉树中 任意子树的叶子节点数 = 非叶子节点数 + 1

于是我们可以对树上的每个区间对每个询问分别计算贡献

然而问题是我们并不知道这棵树长什么样子

所以就要计算一个区间作为二叉树上节点的概率

如果一个序列如下

1 2 3 4 5 6 7

设"a|b"表示a,b之间的间隔

那么如果要[4, 5, 6]作为一个非叶子节点

那么"3|4"，"6|7"就要先被切掉

也就是说 如果将这n - 1个间隔编号为1 ~ n-1

那么它们的每个排列对应一种二叉树

那么刚刚的例子中，3，6就要在排列中排在4，5之前

这个概率是$ 2 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3}$

区间[l, r]成为节点的概率$ 2 * \frac{1}{r - l + 2} * \frac{1}{r - l + 3}$

需要注意的是 如果区间左端为1或右端为n 那么只需要一侧在前即可

比如[1, x]成为节点的概率就是\(\frac{1}{x}\)

复杂度\(O(n^2q)\)