反走样

Gamma 的問題

在 3D 繪圖中，通常有一個很重要的假設，就是線性的反應曲線。所謂的線性反應曲線，就是說，如果把亮度值 1.0 和亮度值 0.5 相比的話，1.0 在螢幕上看起來，應該剛好是 0.5 的兩倍亮。這是一個非常重要的假設，因為只有在這個假設之下，才能很容易地進行亮度值的運算。舉例來說，如果兩個光源照在同一點上，我們會直接把兩個光源產生的亮度值相加，得到最後的亮度。但是，這只有在線性反應的情形下，才是正確的。

不幸的是，一般的螢幕，很少是線性反應的。大部份的螢幕的反應曲線是接近一個指數的曲線。這個指數曲線的指數部份，我們就把它稱為 gamma 值。當 gamma 值為 1.0 時，就是線性反應。一般常見的 CRT 螢幕，其 gamma 值則通常在 2.0 到 2.6 之間。這時，就需要一個修正（gamma correction）讓螢幕的顯示看起來和線性反應相同。

不過，在很多情形下，不正確的 gamma 設定，並不會帶來太大的困擾（除了畫面看起來會太暗或太亮之外）。不過，在有 FSAA 時，gamma 值的設定就顯得特別重要了。因為如果 gamma 值太大，FSAA 的效果就會不足，而使得結果看起來還是有鋸齒狀。而如果 gamma 值太小（小於 1.0），那 FSAA 的效果就會太過，而使畫面顯得比較粗。這個效應非常明顯，所以要得到理想的 FSAA 效果，一定要設定正確的 gamma 值。

那要如何找出螢幕的 gamma 值呢？這並不是個非常容易的事。不過，如果只想要找出「大概」的 gamma 值，那可以參考下面的圖（此圖由 PNG 發展小組提供）：

這個圖的使用方式，是先把螢幕的 contrast（通常以半黑半白的圓形表示）調到最高，並把亮度調低，直到黑色部分成為真正的黑色（不能是深灰色）。然後和螢幕保持一定距離，看看對哪一個數字的區塊中，左右兩半的亮度最接近。要注意的是，很多因素都會影響到 gamma 值，包括螢幕的亮度設定（brightness）、四周的照明等等。同時，這個方式只能找出一個大概的 gamma 值，並不是很精確。

目前大部份的顯示晶片都提供 gamma 值設定的功能。所以，在找出螢幕的 gamma 值後，可以設定顯示晶片的 gamma 修正功能。經過 gamma 修正後，上圖中亮度最像的應該會是 1.0 的區塊。以下是 NVIDIA 的 Detonator 系列 driver 中，設定 gamma 值的畫面：

在 FSAA 簡介文章中，比較了 RGSS 和 OGSS 這兩種取樣方式。不過，事實上，取樣的方式還有很多種。在這裡我們就簡單介紹一些適合硬體實作的取樣方式。

為了展示取樣方式的不同，我們用一張簡單的圖片為例。這張圖是由 sin(x * x + y * y) 產生的。下圖是沒有進行任何 anti-aliasing 的例子：

上圖完全沒有任何 anti-aliasing 動作，所以可以看到明顯的鋸齒狀。另外，在右下角則有圓形條紋。這都是不應該出現的。

注意：本頁中所有的 FSAA 圖片，都應該在 gamma 值為 1.0 的條件下觀看。如果無法調整 gamma 值，這裡提供了 gamma 2.2 的圖片。

過去在 3D 繪圖系統中，因為系統設計上的限制，所以通常都是使用 OGSS。為了避免 OGSS 的一些不良性質，通常使用 64 倍的取樣（8×8）。以下對上圖做 64 倍 OGSS 的結果：

64X OGSS	16X OGSS

可以看到 64 倍 OGSS 提供相當不錯的效果。不幸的是，64 倍 OGSS 實在是太昂貴了（理論上它需要 64 倍的計算量）。要在即時繪製的系統上，提供 64 倍的 OGSS 恐怕是相當困難的。而且，即使是利用其它技術來減少計算量（像是只在邊緣部份進行超取樣），如果不是使用 deferred renderer，它還需要 64 倍的 frame buffer 空間。這在目前恐怕也是十分困難。

如果使用 16 倍（4X4）的 OGSS，當然就比較容易。但是，16 倍的 OGSS 並不能提供像 64 倍 OGSS 這麼好的品質。它看起來比較粗糙，而且右下角還是可以看到圓形失真條紋。

為了改善這個問題，可以使用非格狀的取樣點，像是 RGSS。非格狀的取樣點的好處，在 FSAA 簡介中也有簡單介紹過。下圖就是使用 16 倍非格狀取樣的效果：

16X jittered subsampling	16X OGSS

可以看出 16 倍非格狀取樣的效果，和 16X OGSS 差不多，但是鋸齒狀稍微少一些，而且圓形條紋也減少了。不過，不幸的是，圓形條紋並沒有完全消失。

為什麼會有這種圓形條紋呢？這是因為人的眼睛會傾向把亮度或顏色類似的東西，當成同一個東西，即使它們是分開的。所以，雖然這些線是分開的，但是它們之間如果有亮度類似的部份，就會被人眼認定成是同一個東西。這就是人眼對於失真現象敏感的原因之一。

要完全消除這種現象，就要試圖去除取樣點的規則性。前面所用的取樣方式，對每個 pixel 來說，其取樣點的位置都是固定的。如果對每個 pixel 都採用不同的取樣點，那就可以消除這種規則性，也就是由「雜訊」取代「失真」。因為人眼對隨機雜訊較不敏感，所以這是可行的。下圖就是兩個例子：

16X random jittered subsampling	16X pseudo Poisson disc subsampling

可以看到，圓形失真條紋已經是完全看不到了。而且鋸齒狀的現象，也比 16X OGSS 或 16X 非格狀取樣要稍微減少了一些。

在上圖中，左圖是以格狀的取樣點為基礎，對每個取樣點做一個隨機的移動（移動範圍不超過取樣點包含的範圍）。因此，每個 pixel 的取樣點位置都會不同。不過，因為沒有對取樣點的位置有什麼限制，所以有時取樣點可能會太靠近、或是離得太遠。所以，它產生的「雜訊」就會比較多。而右圖則是對取樣點位置做了限制，也就是兩個取樣點之間的最短距離不能低於某個數字（在這裡是約 0.7）。這樣可以避免取樣點會太靠近或太遠的情形，因而減少了一些「雜訊」。

 

結合各取樣點的結果

在前面討論了各種不同的取樣方式，不過，在拿到很多個取樣點的資料後，要怎麼計算出結果呢？

到目前為止，我們所用的方法，都是所謂的 box filter。所謂的 box filter 就是在一個區域內（不一定是方形的區域，不過在這裡也都是方形的），把這個區域內的數值加總，再求出平均值。在離散的情形下，就是所謂的 unweighted average，也就是把每個取樣點的顏色資料加起來，直接求平均值，就得到這個 pixel 的顏色。

Box filter 的好處是簡單，計算也不複雜，但是它並不能帶來最好的效果。它的主要缺點是在動態影像時表現出來，另外，它常常會讓畫面變得過於模糊，這也可以從訊號理論的角度來分析。不過，我們最好先別提訊號理論，而先從動態影像的角度來看這個問題。

動態影像的問題

我們之前在討論 FSAA 時，都是針對靜態影像進行討論。但是，其實 anti-aliasing 有一個很重要的用處，就是消除動態影像所帶來的失真現象。首先，我們先考慮完全沒有 anti-aliasing 的情形，並考慮一個很小的三角面，以慢速移動時，會發生什麼事：

上圖顯示一個小的三角形，在像點組成的格子點中，慢速移動時產生的現象。藍色的點是位於三角形內部的像點，也是在畫這個三角形時，會被畫出來的像點。可以看到，當三角形在移動時，像點的變化相當不規則。這會讓人覺得這個三角形在閃爍。而且，雖然三角形的面積並沒有改變，但是它所蓋住的像點數目卻都不太一樣，有時蓋住了八個像點，有時卻蓋住九個。這實在不是一個好現象。

事實上，這種形式的失真，對人眼是最敏感的。它的影響甚至要大過邊緣的鋸齒狀所帶來的影響。也許有人會說，畫面上很少會出現這麼小的三角形吧！但是，在 3D 繪圖中，不管物體原來有多大，如果它的距離遠，那就會因為透視投影的關係，而變得很小。如果觀察者不動，那它的移動速度對觀察者來說，也會變慢。所以，這種情形其實是十分常見的。

如果我們不是直接取樣，而是把一個像點中，三角面所佔的面積，來做為這個像點的顏色的話，應該就可以改善這個情形。當然，實際上要算出三角面在一個像點中所佔的面積並不容易，因為三角面可能會一部份會被別的三角面蓋住。這會讓情形變得很複雜。所以，比較簡單的方法，就是像前面所提到的，使用 super-sampling 的方式。也就是在一個像點中，取很多個取樣點，再把這些取樣點的顏色平均。結果大致上會如下圖：

可以看到，利用了 box filter 後，像點顏色的變化比較不會那麼突兀。但是，box filter 還是有一個問題。當一個三角面的某一部份都是在像點內部移動，而且所佔的面積都不變的時候，那個像點的顏色也不會改變。上圖中的第一列就是個例子。也就是說，只要三角面只在像點的範圍內部移動，像點的顏色就不會改變。但是，當它開始離開像點範圍時，包括這個像點，和它正在進入的像點，顏色就會開始改變。如果三角面移動的速度不快，那就會變成在大部份時間中，像點的顏色都不變（因為三角面都在這個像點的範圍內），然後突然開始變化（因為三角面開始移動到另一像點）。這樣還是會有一些「閃爍」的感覺。

如果我們現在改用另一個方法，也就是說，不要用一般的平均，而是加上一個權重，也就是 weighted average。給愈靠近像點中心的取樣點更高的權重，而在邊緣的取樣點則給比較小的權重，那即使三角面只在像點內部移動，也會有顏色的變化，那就不會有閃爍的感覺了吧！但是，不幸的是，這樣還是會有問題。當三角面從像點的中心移到邊緣時（但是還沒有超出像點的範圍），三角面的面積並沒有改變。但是，因為邊緣的權重較小，像點的顏色會改變。這樣會很奇怪。事實上，在三角面很小的時候，這樣反而會加強閃爍的現象。

解決這個問題的方法，是使用一個 overlapped filter。我們在前面所用到的 filter，都只是對像點範圍內的取樣點進行計算。但是，我們現在把 filter 的範圍擴大，讓它把周圍像點的一些取樣點也加進來進行計算。如下圖所示：

也許有人會有疑問，使用 overlapped filter 難道不會讓畫面變得太過模糊嗎？不過，要記住，我們使用的是 weighted average，愈靠近 filter 邊緣的取樣點，比重愈低。常用的權重包括 cone filter 和 Gaussian filter，cone filter 較為簡單，但 Gaussian filter 的效果比較好。如果取樣點的位置是固定的，那權重也會是固定的，所以權重可以事先計算，因此使用 Gaussian filter 和 cone filter 的複雜度不會有什麼差別。不過，如果使用隨機的取樣點的話，那 Gaussian filter 就會複雜很多了。

這裡提供一個細長的三角形，在空間中水平移動的例子，以 MPEG-1 格式儲存。有興趣的話，可以看看各種不同的取樣點，和 Gaussian filter 的效果。