poj3728 The merchant

题目：The merchant

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题目描述：给出一棵有n个带权(price)节点的树(结点数n<=50000)，给出m组询问{v,u},询问从v到u中差最多是多少(询问次数m<=50000)。

分析：

　　（1）算法一：最朴素的方法是从v到u完整的访问一遍，枚举一个在{v,u}这条路径上的点o作为卖出点x，求出{v,o}这条路的最小值y作为买入点，{x-y}的最大值即为所求结果。

　　（2）分析算法一：对于{v,o}这条路的最小值y，要使得{y-x}最大，那x必然是{o.u}的最大值。{v,u}中的差必然是{v,o}的差、{o,u}的差、{o.u}的最大值-{v,o}的最小值中取最大值。可以采取分治算法。

　　（3）算法二：把{v,u}的最近公共祖先lca最作为o分治算法的分割点。{v,u}中的差是{v,lca}的差、{lca,u}的差、{lca.u}的最大值-{v,lca}的最小值中取最大值。问题转化为快速计算{v,lca}的差，{lca,u}的差，{lca,u}的最大值，{v,lca}的最小值，仍然采用分治思想，利用倍增进行预处理和加速计算。

　　（4）算法三：由于询问没有相关性，而且所有询问在一开始就已经知道，可以离线计算。采用Tarjan算法，用并查集维护{v,lca}的差，{lca,u}的差，{lca,u}的最大值，{v,lca}的最小值。

　　（5）算法二和算法三均利用了分析二的思路。

　　（6）扩展：问题中的树如果退化成一条链，有其他做法。用一个新序列$w_2-w_1,w_3-w_2 ,\cdots, w_n-w_{n-1}$,这样只需要求得询问区间最大子段和即为结果Max-Min了，可以采用线段树去加速计算，做法类似{USACO 2008 Feb Hotel}一题。

代码：

算法二：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int Inf=1e9;
int Tval[50005],Tdep[50005],Tfa[50005][21];
int Tmin[50005][21],Tmax[50005][21],Tup[50005][21],Tdown[50005][21];
int size,first[50005];
struct Edge{int to,next;}e[100005];
int Read(){
    int ch='@',t=0;
    for(;ch<48 || 57<ch;ch=getchar());
    for(;47<ch && ch<58;ch=getchar())t=t*10+ch-48;
    return t;
} 
inline int max(int x,int y) {x-=y;return y+(x&(~(x>>31)));}
inline int min(int x,int y) {x-=y;return y+(x&(x>>31));}
void addedge(int x,int y){
    e[++size].to=y;e[size].next=first[x];first[x]=size;
    e[++size].to=x;e[size].next=first[y];first[y]=size;
}
void LcaInit(int v){
    for(int i=1,j,k,tv;i<17;++i){
        Tfa[v][i]=Tfa[Tfa[v][i-1]][i-1];
        Tmin[v][i]=min(Tmin[v][i-1],Tmin[Tfa[v][i-1]][i-1]);
        Tmax[v][i]=max(Tmax[v][i-1],Tmax[Tfa[v][i-1]][i-1]);
        Tup[v][i]=max(max(Tup[v][i-1],Tup[Tfa[v][i-1]][i-1]),Tmax[Tfa[v][i-1]][i-1]-Tmin[v][i-1]);
        Tdown[v][i]=max(max(Tdown[v][i-1],Tdown[Tfa[v][i-1]][i-1]),Tmax[v][i-1]-Tmin[Tfa[v][i-1]][i-1]);
    }
    for(int i=first[v],u;i;i=e[i].next){
        u=e[i].to;if(u==Tfa[v][0])continue;
        Tfa[u][0]=v;
        Tdep[u]=Tdep[v]+1;
        Tmin[u][0]=min(Tval[u],Tval[v]);
        Tmax[u][0]=max(Tval[u],Tval[v]);
        Tup[u][0]=max(0,Tval[v]-Tval[u]);
        Tdown[u][0]=max(0,Tval[u]-Tval[v]);
        LcaInit(u);
    }
}
int GetLca(int v,int u){
    if(Tdep[v]<Tdep[u])std::swap(v,u);
    for(int i=16;i>=0;--i)
        if((Tdep[v]-Tdep[u])&(1<<i))v=Tfa[v][i];
    if(v==u)return v;
    for(int i=16;i>=0;--i)
        if(Tfa[v][i]!=Tfa[u][i]){v=Tfa[v][i];u=Tfa[u][i];}
    return Tfa[v][0];
}
int GetAns(int v,int u){
    int lca=GetLca(v,u);
    int Min=Inf,Max=0,ans=0;
    for(int i=16;i>=0;--i)
        if((Tdep[v]-Tdep[lca])&(1<<i)){
            ans=max(ans,max(Tup[v][i],Tmax[v][i]-Min));
            Min=min(Min,Tmin[v][i]);
            v=Tfa[v][i];
        }
    for(int i=16;i>=0;--i)
        if((Tdep[u]-Tdep[lca])&(1<<i)){
            ans=max(ans,max(Tdown[u][i],Max-Tmin[u][i]));
            Max=max(Max,Tmax[u][i]);
            u=Tfa[u][i];
        }
    return max(ans,Max-Min);
}
int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int n,q;
    n=Read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        Tval[i]=Read();
    for(int i=1,a,b;i<n;++i){
        a=Read();b=Read();
        addedge(a,b);
    }
    LcaInit(1);
    q=Read();
    for(int i=1,a,b,ans;i<=q;++i){
        a=Read();b=Read();
        ans=GetAns(a,b);
        printf("%d\n",ans);
    }
    //fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}

算法三：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int Inf=1e9;
int Rt[50005];
bool vis[50005];
int Tmin[50005],Tmax[50005],Tup[50005],Tdown[50005];
int Gsize,Qsize,Asize,Gfirst[50005],Qfirst[50005],Afirst[50005];
struct GEdge{int to,next;}Ge[100005];
struct QEdge{int to,id,next;}Qe[100005];
struct AEdge{int id,next;}Ae[100005];
struct Query{int u,v,ans;}Que[100005];
int Read(){
    int ch='@',t=0;
    for(;ch<48 || 57<ch;ch=getchar());
    for(;47<ch && ch<58;ch=getchar())t=t*10+ch-48;
    return t;
} 
inline int max(int x,int y) {x-=y;return y+(x&(~(x>>31)));}
inline int min(int x,int y) {x-=y;return y+(x&(x>>31));}
void Gaddedge(int x,int y){
    Ge[++Gsize].to=y;Ge[Gsize].next=Gfirst[x];Gfirst[x]=Gsize;
    Ge[++Gsize].to=x;Ge[Gsize].next=Gfirst[y];Gfirst[y]=Gsize;
}
void Qaddedge(int x,int y,int id){
    Qe[++Qsize].to=y;Qe[Qsize].id=id;Qe[Qsize].next=Qfirst[x];Qfirst[x]=Qsize;
    Qe[++Qsize].to=x;Qe[Qsize].id=id;Qe[Qsize].next=Qfirst[y];Qfirst[y]=Qsize;
}
void Aaddedge(int x,int id){
    Ae[++Asize].id=id;Ae[Asize].next=Afirst[x];Afirst[x]=Asize;
}
int GetRt(int v){
    if(Rt[v]==v)return v;
    int fa=Rt[v];
    Rt[v]=GetRt(Rt[v]);
    Tup[v]=max(max(Tup[v],Tup[fa]),Tmax[fa]-Tmin[v]);
    Tdown[v]=max(max(Tdown[v],Tdown[fa]),Tmax[v]-Tmin[fa]);
    Tmin[v]=min(Tmin[v],Tmin[fa]);
    Tmax[v]=max(Tmax[v],Tmax[fa]);
    return Rt[v];
}
void Tarjan(int v){
    vis[v]=true;
    for(int i=Qfirst[v],u,lca;i;i=Qe[i].next){
        u=Qe[i].to;if(!vis[u])continue;
        lca=GetRt(u); 
        Aaddedge(lca,Qe[i].id);
    }
    for(int i=Gfirst[v],u;i;i=Ge[i].next){
        u=Ge[i].to;if(vis[u])continue;
        Tarjan(u);
        Rt[u]=v;
    }
    for(int i=Afirst[v],id,tv,tu;i;i=Ae[i].next){
        id=Ae[i].id;tv=Que[id].v;tu=Que[id].u;
        GetRt(tv);GetRt(tu);
        Que[id].ans=max(max(Tup[tv],Tdown[tu]),Tmax[tu]-Tmin[tv]);
    }
}
int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int n,q;
    n=Read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        Rt[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        Tmin[i]=Tmax[i]=Read();
    for(int i=1,a,b;i<n;++i){
        a=Read();b=Read();
        Gaddedge(a,b);
    }
    q=Read();
    for(int i=1;i<=q;++i){
        Que[i].v=Read();Que[i].u=Read();
        Qaddedge(Que[i].v,Que[i].u,i);
    }
    Tarjan(1);
    for(int i=1;i<=q;++i)
        printf("%d\n",Que[i].ans);
    //fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}