吴恩达机器学习笔记|（11）学习大数据集
应用于大数据集较为合适的两种算法：随机梯度下降 和 mini-batch 梯度下降。
一、随机梯度下降（stochastic gradient descent）
由于之前实现梯度下降时，每次迭代都需要考虑所有样本，因此也称为批量梯度下降(batch gradient descent)。如 \(\theta_j := \theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum_\limits{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\) ，其中第二项包含所有样本。对于大数据集，这种方法并不适用。
随机梯度下降与批量梯度下降的区别在于，其迭代时不需要对整个样本进行求和，而是仅利用一个训练样本就可以进行参数的迭代优化。
算法过程：
-
随机对训练数据集排序
-
Repeat {
for \(i: =1,...,m\) {
\(\theta_j:=\theta_j-\alpha(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x^{(i)}_j\)
（for every \(j=0,...,n\)）
}
}
这里算法的优势在于，由于数据集很大（m很大），并且for循环内每一次迭代都在对参数 \(\theta\) 进行优化，在一次完整的for循环内可能就已经得到了较好的参数，因此性能优于原本的批量梯度下降算法。正常来说repeat 1~10次是合理的，这取决于样本大小。
二、Mini-batch 梯度下降
思想：随机梯度下降算法的思想是每次迭代使用 1 个样本，Mini-batch 梯度下降的思想是每次迭代利用 b 个样本。
算法过程：
-
假设 \(b=10,m=1000\)
-
Repeat {
for \(i=1,11,21,31,\ldots,991\) {
\(\theta_j:=\theta_j-\alpha\frac{1}{10}\sum_\limits{k=i}^{i+9}(h_\theta(x^{(k)})-y^{(k)})x^{(k)}_j\)
（for every \(j=0,...,n\)）
}
}
合适的向量化计算可以并行地实现算法，当且仅当此时 Mini-batch 算法优于随机梯度下降算法。
三、算法收敛性检验
批量梯度下降
画出代价函数 \(J_{train}(\theta)=\frac{1}{2m}\sum_\limits{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2\) 关于迭代次数的函数图像。
随机梯度下降
在每次更新 \(\theta\) 前计算代价函数 \(cost(x^{(i)},y^{(i)})=\frac{1}{2}(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2\) 。然后每 1000（或者其它）次画一次平均 \(cost\) 值，随着算法运行，同样将获得一个随迭代次数变化的代价函数值图像。
注意：
- 梯度下降并不是一个代价函数一直下降的过程，而是振荡下降，因此适当调低学习速率 \(\alpha\) ，可能获得一个更优的结果，但相应收敛速度变慢。
- 若学习曲线下降缓慢（收敛慢）或者振荡幅度大，则应该提高选择计算代价函数平均值的样本数量。
- 若得到的学习曲线是增大的（发散），应该设置较小的学习速率 \(\alpha\) 。
- 一般情况下梯度下降的学习速率是不变的，但是为了提高算法的效果，也可以设置一个随迭代增加而逐渐减小的学习速率：\(\alpha=\frac{const}{iterationNumber+const}\) 。
四、在线学习机制
对于具有连续数据流的场景（如在线运行的网站，拥有不断涌入注册的用户）可以利用在线学习机制，利用新增加用户的偏好改进算法的性能。即训练数据集不固定。是随机梯度下降算法的变式。
例：产品搜索——点击率预测学习问题（CTR预测，click through rate）
有一个在线卖手机的商店，用户可以搜索相应的手机。假设店里有100部手机，每次搜索会返回10个结果。可以构建一个特征向量 \(x\) ，代表用户搜索词与手机描述相匹配的程度等等，我们需要估计出用户点击每个手机链接的概率 \(p(y=1|x;\theta)\) ，并用 \(y=1\) 表示用户点击该链接，否则为 \(y=0\) 。最后我们需要为用户显示10个最匹配的手机链接（用户最可能会点击的链接）。
对于这类问题，在线学习机制就是不断地为新用户展示为其推荐的10个最可能点击的链接，得到10个样本，并对这10个样本运行10步梯度下降算法来更新参数，然后丢弃这些样本，然后继续对进入的新用户流进行展示和学习。不断循环……类似的还有新闻抓取网站、招聘网站以及协同过滤推荐等等。
五、减少映射（MapReduce）与数据并行（data parallelism）
适用于数据过多以至于无法在单机上运行的大规模机器学习场景。只要算法能够表示为对训练集的求和，就可以使用MapReduce。
Map-reduce
基于上图所示过程，代价函数及其偏导计算，都可以分解至多个机器进行并行运算，然后整合。（对于多核计算机，即便是同一计算机，也可以利用MapReduce进行并行计算）
