【JZOJ4919】【NOIP2017提高组模拟12.10】神炎皇

题目描述

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

数据范围

对于100%的数据n<=100000000000000。

=w=

引理一

两个互质的数之差与这两个数互质。
证明：
证明依赖于欧几里得算法的gcd(a,b)=gcd(b,a−b)。
1.设a>b,r=(a,b)，则有r|a,r|b，表示成a=a′∗r,b=b′∗r。
则有(b,a−b)=(b′∗r,(a′−b′)∗r)，显然(b,a−b)也有r这个公约数。

2.设r=(a,b)，则有r|a,r|b，表示成a=a′∗r,b=b′∗r。
则有(a+b,a)=((a′+b′)∗r,a′∗r)，显然(a+b,a)也有r这个公约数。

综合1,2，(a,b)的公约数也是(b,a−b)的公约数，所以gcd(a,b)=gcd(b,a−b)。
回到原命题，gcd(p,q)=1⇒gcd(q,p−q)=1。

引理二

两个互质的数的和与积互质。
证明：
设gcd(p,q)=1，
根据引理一，则有
gcd(p+q,q)=gcd(q,p)=1,gcd(p+q,p)=gcd(p,q)=1
也就是说(p+q)与p和q都互质，必然就和pq互质。

正文

若(a,b)合法，那么存在(a+b)|ab
设d=gcd(a,b)，并且a′∗d=a,b′∗d=b。
那么就有(a′+b′)d|a′b′d2，即(a′+b′)|a′b′d。

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根据引理二，又a′与b′互质，则(a′+b′)|d。
题设有a+b<=n，那么(a′+b′)d<=n。

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由(a′+b′)|d，d至少为(a′+b′)。
又(a′+b′)d<=n，那么(a′+b′)<=n√。

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不妨枚举i=(a′+b′)，这样d就只能取n/i个了，每隔i个有一个d|i。
所以合法的d就有n/i2个。
再来考虑符合(a′+b′)=i的个数，由引理一：
如果存在一个gcd(c,i)=1，那么必然存在一个gcd(c,i−c)=1。
于是乎，(a′+b′)=i的个数即为φ(i)，可用线性筛法预处理。

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综上，ans=∑n√i=2ni2∗φ(i)。
时间复杂度为O(n√)。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const char* fin="uria.in";
const char* fout="uria.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=10000007;
ll n,i,j,k,nq;
ll ans;
ll p[maxn],phi[maxn];
bool bz[maxn];
int main(){
    freopen(fin,"r",stdin);
    freopen(fout,"w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    nq=(ll)sqrt(n);
    for (i=2;i<=nq;i++){
        if (bz[i]==false){
            phi[i]=i-1;
            p[++p[0]]=i;
            ans+=phi[i]*(n/i/i);
        }
        for (j=1;j<=p[0];j++){
            k=i*p[j];
            if (k>nq) break ;
            if (i%p[j]==0) phi[k]=phi[i]*p[j];
            else  phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
            bz[k]=true;
            ans+=phi[k]*(n/k/k);
            if (i%p[j]==0) break;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

=o=

线性筛法求欧拉函数

首先有通式，
φ(p1k1∗p2k2∗...∗pnkn)=(p1−1)∗p1k1−1∗(p2−1)∗p2k2−1∗...∗(pn−1)∗pnkn−1。
显然用线筛通过简单转移可以得到。

~

一开始我也考虑分析这个东西，
(a,b)合法就有(a′+b′)|a′b′d。
然后就不会了。
并没有考虑到gcd(a′+b′,a′b′)=1这个性质。
日后这种数论计数问题，先从合法的开始分析。
如果涉及倍数关系，可以考虑排除一些不作贡献的干扰项。