例：已知\(\overset{..}{x}=-c \overset{.}{x}^2+u\)，设计u使\(x(t)\rarr x_d(t)(t\rarr \infty)\)
设\(\epsilon=x-x_d\)，则\(\overset{·}{\epsilon}=\overset{.}{x}-\overset{.}{x_d}\),\(\overset{··}{\epsilon}=\overset{..}{x}-\overset{..}{x_d}\)
设计切换函数\(s=k\overset{.}{\epsilon}+\epsilon(k>0)\)
采用指数趋近律\(\overset{.}{s}=-\lambda s\)
切换函数左右两边对\(t\)求导，可以推导
\[\begin{aligned}
\overset{.}{s}&=k\overset{..}{\epsilon}+\overset{.}{\epsilon}\\
&=k\overset{..}{x}-k\overset{..}{x_d}+\overset{.}{\epsilon}\\
&=k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon}\\
\end{aligned}
\]
联立指数趋近律得到，
\[u=c\overset{.}{x}^2+\overset{..}{x_d}-\dfrac{\overset{.}{\epsilon}}{k}-\dfrac{\lambda}{k}s
\]
上面这个过程是一般的滑模控制的方法，但是应用在汽车跟随问题的时候需要考虑实际因素。在建模时，\(c\)项与质量相关，而汽车装载质量会变化，所以用上面的控制方法存在一定的问题。下面提出了自适应控制的方法。
把\(c\)看成参考值，是未知量，设\(\hat{c}\)是估计值，此时的指数趋近律是
\[u=\hat{c}\overset{.}{x}^2+\overset{..}{x_d}-\dfrac{\overset{.}{\epsilon}}{k}-\dfrac{\lambda}{k}s\tag{1}
\]
接下来我们重点分析\(\hat{c}\)的估计方法
可以看出估计误差\(\widetilde{c}=\hat{c}-c\)，假如\(c\)很小，则左右两边对\(t\)求导，近似可以得到\(\overset{.}{\widetilde{c}}=\overset{.}{\hat{c}}\)。
根据李雅普诺夫方法，设
\[V=\dfrac{s^2}{2}+\dfrac{\widetilde{c}^2}{2\gamma}
\]
其中\(\gamma>0\)为调节参数。我们可以看出\(V>0\)，只要证明\(V'<0\)即可。
\[\begin{aligned}
V'&=ss'+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\widetilde{c}}\\
&=s(k\overset{..}{\epsilon}+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\
&=s(k(\overset{..}{x}-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\
&=s(k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}
\end{aligned}
\]
把自适应控制率(1)代入
\[\begin{aligned}
V'&=s(k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\
&=-\lambda s^2 + \dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks(\hat{c}-c)\overset{.}{x}^2\\
&=-\lambda s^2 + \dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks\widetilde{c}\overset{.}{x}^2
\end{aligned}
\]
令\(\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks\widetilde{c}\overset{.}{x}^2=0\)，即
\[\overset{.}{\hat{c}}=-\gamma k \overset{.}{x}^2s\tag{2}
\]
此时满足\(V'=-\lambda s^2<0\)。
综上分析，控制律(1)(2)即可以实现汽车质量变动下的自适应控制。
