自适应控制

例：已知 $\overset{..}{x}=-c \overset{.}{x}^2+u$ ，设计u使 $x(t)\rarr x_d(t)(t\rarr \infty)$

设 $\epsilon=x-x_d$ ，则 $\overset{·}{\epsilon}=\overset{.}{x}-\overset{.}{x_d}$ , $\overset{··}{\epsilon}=\overset{..}{x}-\overset{..}{x_d}$

设计切换函数 $s=k\overset{.}{\epsilon}+\epsilon(k>0)$

采用指数趋近律 $\overset{.}{s}=-\lambda s$

切换函数左右两边对 $t$ 求导，可以推导

\begin{aligned} \dot{s} & = k \overset{. .}{ϵ} + \dot{ϵ} \\ = k \overset{. .}{x} - k \overset{. .}{x_{d}} + \dot{ϵ} \\ = k (- c {\dot{x}}^{2} + u - \overset{. .}{x_{d}}) + \dot{ϵ} \end{aligned}

$\begin{aligned} \overset{.}{s}&=k\overset{..}{\epsilon}+\overset{.}{\epsilon}\\ &=k\overset{..}{x}-k\overset{..}{x_d}+\overset{.}{\epsilon}\\ &=k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon}\\ \end{aligned}$

联立指数趋近律得到，

u = c {\dot{x}}^{2} + \overset{. .}{x_{d}} - \frac{\dot{ϵ}}{k} - \frac{λ}{k} s

$u=c\overset{.}{x}^2+\overset{..}{x_d}-\dfrac{\overset{.}{\epsilon}}{k}-\dfrac{\lambda}{k}s$

上面这个过程是一般的滑模控制的方法，但是应用在汽车跟随问题的时候需要考虑实际因素。在建模时， $c$ 项与质量相关，而汽车装载质量会变化，所以用上面的控制方法存在一定的问题。下面提出了自适应控制的方法。

把 $c$ 看成参考值，是未知量，设 $\hat{c}$ 是估计值，此时的指数趋近律是

\begin{matrix} (1) & u = \hat{c} {\dot{x}}^{2} + \overset{. .}{x_{d}} - \frac{\dot{ϵ}}{k} - \frac{λ}{k} s \end{matrix}

$u=\hat{c}\overset{.}{x}^2+\overset{..}{x_d}-\dfrac{\overset{.}{\epsilon}}{k}-\dfrac{\lambda}{k}s\tag{1}$

接下来我们重点分析 $\hat{c}$ 的估计方法

可以看出估计误差 $\widetilde{c}=\hat{c}-c$ ，假如 $c$ 很小，则左右两边对 $t$ 求导，近似可以得到 $\overset{.}{\widetilde{c}}=\overset{.}{\hat{c}}$ 。

根据李雅普诺夫方法，设

V = \frac{s^{2}}{2} + \frac{{\tilde{c}}^{2}}{2 γ}

$V=\dfrac{s^2}{2}+\dfrac{\widetilde{c}^2}{2\gamma}$

其中 $\gamma>0$ 为调节参数。我们可以看出 $V>0$ ，只要证明 $V'<0$ 即可。

\begin{aligned} V^{'} & = s s^{'} + \frac{1}{γ} \tilde{c} \dot{\tilde{c}} \\ = s (k \overset{. .}{ϵ} + \dot{ϵ}) + \frac{1}{γ} \tilde{c} \dot{\hat{c}} \\ = s (k (\overset{. .}{x} - \overset{. .}{x_{d}}) + \dot{ϵ}) + \frac{1}{γ} \tilde{c} \dot{\hat{c}} \\ = s (k (- c {\dot{x}}^{2} + u - \overset{. .}{x_{d}}) + \dot{ϵ}) + \frac{1}{γ} \tilde{c} \dot{\hat{c}} \end{aligned}

$\begin{aligned} V'&=ss'+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\widetilde{c}}\\ &=s(k\overset{..}{\epsilon}+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\ &=s(k(\overset{..}{x}-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\ &=s(k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}} \end{aligned}$

把自适应控制率(1)代入

\begin{aligned} V^{'} & = s (k (- c {\dot{x}}^{2} + u - \overset{. .}{x_{d}}) + \dot{ϵ}) + \frac{1}{γ} \tilde{c} \dot{\hat{c}} \\ = - λ s^{2} + \frac{1}{γ} \tilde{c} \dot{\hat{c}} + k s (\hat{c} - c) {\dot{x}}^{2} \\ = - λ s^{2} + \frac{1}{γ} \tilde{c} \dot{\hat{c}} + k s \tilde{c} {\dot{x}}^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} V'&=s(k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\\ &=-\lambda s^2 + \dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks(\hat{c}-c)\overset{.}{x}^2\\ &=-\lambda s^2 + \dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks\widetilde{c}\overset{.}{x}^2 \end{aligned}$

令 $\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks\widetilde{c}\overset{.}{x}^2=0$ ，即