汽车质心绝对加速度数学推导和滑模控制实例

1. 线性二自由度汽车质心绝对加速度在车辆坐标系下的公式

在汽车线性二自由度微分方程那篇博客中，我具体推导了\(a_y\)，但是用了近似和忽略。下面将用向量的方法，详细推导出\(a_x、a_y\)。

下面是推导的过程：

\[\begin{aligned} a&=a_\tau+a_n\\ &=\overset{·}{v_x}\overset{\rarr}{x}+\overset{·}{v_y}\overset{\rarr}{y}+w\overset{\rarr}{z}\times(v_x\overset{\rarr}{x}+v_y\overset{\rarr}{y})\\ &=\overset{·}{v_x}\overset{\rarr}{x}+\overset{·}{v_y}\overset{\rarr}{y}+wv_x\overset{\rarr}{z}\times\overset{\rarr}{x}+wv_y\overset{\rarr}{z}\times\overset{\rarr}{y}\\ &=\overset{·}{v_x}\overset{\rarr}{x}+\overset{·}{v_y}\overset{\rarr}{y}+wv_x\overset{\rarr}{y}-wv_y\overset{\rarr}{x}\\ &=(\overset{·}{v_x}-wv_y)\overset{\rarr}{x}+(\overset{·}{v_y}+wv_x)\overset{\rarr}{y}\\ &=a_x \overset{\rarr}{x}+a_y \overset{\rarr}{y} \end{aligned} \]

其中\(\tau\)向就是切向，而\(n\)向就是法向。

2. 一个汽车跟踪问题的滑模控制实例

例：汽车队列跟踪问题可以抽象出如下的模型：\(\overset{··}{x}=-\overset{·}{x}\ ^2+u\), 设计控制律\(u\)，使\(x\rarr x_d\quad (t\rarr \infty)\)

解：设\(\epsilon=x-x_d\)，则\(\overset{·}{\epsilon}=\overset{·}{x}-\overset{·}{x_d}\)，\(\overset{··}{\epsilon}=\overset{··}{x}-\overset{··}{x_d}\)

可以设计切换函数\(S(\epsilon)=k\epsilon+\overset{·}{\epsilon}\quad (k>0)\)

接下来可以证明切换函数的滑模稳定性、存在性、可达性。

2.1 滑模稳定性

滑模稳定性是指\(S\rarr0\)时，\(\epsilon\rarr0\)且\(\overset{·}{\epsilon}\rarr0\)，即点\((\epsilon,\overset{·}{\epsilon})\)会沿着滑模面\(k\epsilon+\overset{·}{\epsilon}=0\)到达原点。如下图中的黄线所示。

可以很快证明滑模稳定性，根据\(k\epsilon+\overset{·}{\epsilon}=0\)，可以解得\(\epsilon=ce^{-kt}\)，\(\overset{·}{\epsilon}=-cke^{-kt}\)

当\(t\rarr \infty\)时，可知\(\epsilon\rarr0\)，\(\overset{·}{\epsilon}\rarr0\)，滑模存在稳定性。

2.2 滑模存在性与可达性

滑模控制系统存在性的充分条件是 \(\underset{S\rarr0}{lim}S\overset{·}{S}<0\)，该条件可以保证系统在滑模面附近的任意初始状态，都能到达滑模面，是局部到达的条件。

滑模控制系统可达性的充分条件是 \(S\overset{·}{S}<0\)，该条件可以保证系统在状态空间的任意位置，都能到达滑模面，是全局可达条件。

上面两个要素都是指如何到达滑模面的事情，如上图的蓝线所示。

接下来证明滑模可达性（也就证明了存在性）。

可以采用等速趋近律\(\overset{·}{S}=-\lambda sgn(s)\quad(\lambda>0)\)，在该趋近律下，\(S\overset{·}{S}<0\)成立。因为\(S>0\)时，\(\overset{·}{S}<0\)；\(S<0\)时，\(\overset{·}{S}>0\)。

将切换函数\(S(\epsilon)=k\epsilon+\overset{·}{\epsilon}\)左右两边求导，得到

\[\overset{·}{S}=k\overset{·}{\epsilon}+\overset{··}{\epsilon} \]

再将\(\overset{··}{\epsilon}=\overset{··}{x}-\overset{··}{x_d}\)带入上式，得到

\[\overset{·}{S}=k\overset{·}{\epsilon}+\overset{··}{x}-\overset{··}{x_d} \]

得到的\(\overset{··}{x}\)与控制律\(u\)存在关系\(\overset{··}{x}=-\overset{·}{x}\ ^2+u\)，所以将它代入上式就引入了控制律。

\[\overset{·}{S}=k\overset{·}{\epsilon}-\overset{··}{x_d}-\overset{·}{x}\ ^2+u \]

将上式与等速趋近律联立消去\(\overset{·}{S}\)，得到

\[u=-\lambda sgn(s)-k\overset{·}{\epsilon}+\overset{··}{x_d}+\overset{·}{x}\ ^2 \]

\(u\)可以看成\(u_{equ}\)和\(u_N\)两部分：

• 等效控制部分 \(u_{equ}=-k\overset{·}{\epsilon}+\overset{··}{x_d}+\overset{·}{x}\ ^2\)

• 反馈控制部分 \(u_N=-\lambda sgn(s)\)