汽车控制理论数学基础——状态方程

1. 利用状态方程求传递函数公式

状态方程为 $G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)} = C(sI-A)^{-1}B+D$

例1： $m-c-k$ 系统，求 $m\overset{··}{x}+c\overset{·}{x}+kx=f$ 传递函数。
解：
令 $x_1 = x$ ， $x_2=\overset{·}{x}$ 则有：

{\begin{cases} \overset{\cdot}{x_{1}} = x_{2} \\ \overset{\cdot}{x_{2}} = \frac{1}{m} [- c x_{2} - k x_{1}] + \frac{f}{m} \end{cases}

$\begin{cases} \overset{·}{x_1}=x_2\\ \overset{·}{x_2}=\dfrac{1}{m}[-c x_2-k x_1]+\dfrac{f}{m} \end{cases}$

根据状态方程的向量表达式和输出方程的向量表达式

{\begin{cases} \overset{\cdot}{X} = A X + B f \\ Y = C X + D f \end{cases}

$\begin{cases} \overset{·}{X} = AX+Bf \\ Y = CX+Df \end{cases}$

可以得到：

A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - \frac{k}{m} & - \frac{c}{m} \end{matrix}] B = [\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{matrix}] C = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] D = 0 X = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}]

$A=\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ -\dfrac{k}{m}& -\dfrac{c}{m} \end{matrix}\right]\qquad B = \left[\begin{matrix} 0\\ \dfrac{1}{m} \end{matrix}\right]\qquad C=\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\qquad D = 0 \qquad X = \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]$

所以

(s I - A)^{- 1} = {[\begin{matrix} s & - 1 \\ \frac{k}{m} & s + \frac{c}{m} \end{matrix}]}^{- 1} = \frac{1}{| \begin{matrix} s & - 1 \\ \frac{k}{m} & s + \frac{c}{m} \end{matrix} |} [\begin{matrix} s + \frac{c}{m} & 1 \\ - \frac{k}{m} & s \end{matrix}]

$(sI-A)^{-1} = \left[\begin{matrix} s&-1\\ \dfrac{k}{m}&s+\dfrac{c}{m} \end{matrix}\right]^{-1}=\dfrac{1}{\left|\begin{matrix} s&-1\\ \dfrac{k}{m}&s+\dfrac{c}{m} \end{matrix}\right|}\left[\begin{matrix} s+\dfrac{c}{m}&1\\ -\dfrac{k}{m}&s \end{matrix}\right]$

可以得到

G (s) = \frac{1}{s^{2} + \frac{c}{m} s + \frac{k}{m}} [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} s + \frac{c}{m} & 1 \\ - \frac{k}{m} & s \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{matrix}] = \frac{1}{m s^{2} + c s + k}

$G(s)=\dfrac{1}{s^2+\dfrac{c}{m}s+\dfrac{k}{m}}\left[\begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} s+\dfrac{c}{m}&1\\ -\dfrac{k}{m}&s \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 0\\ \dfrac{1}{m} \end{matrix}\right]=\dfrac{1}{ms^2+cs+k}$

2. 反馈控制

2.1 状态反馈控制器设计

控制律为 $u = -KX + v$
将控制律带入状态方程可以得到，闭环系统 $\begin{cases} \overset{·}{X}=(A-BK)X+Bv\\ Y = CX \end{cases}$
传递函数为 $G_K(s)=C(sI-A+BK)^{-1}B$

例2： $\overset{··}{x}=\overset{·}{x}+x+u$ ，如何设计 $u$ ，使得 $x \rarr x_d\quad(t\rarr\infty)$ ， $x_d$ 为常数。

解：
输入是 $u$ ，特征方程为 $s^2-s-1=0$

可以看出该系统开环不稳定，因为有一个根在右半平面，可以设计 $u=-2\overset{·}{x}-2x+x_d$

代入上述系统，可得 $\overset{··}{x}+\overset{·}{x}+x=x_d$

对于此时的闭环系统，输入是 $x_d$ ，特征方程为 $s^2+s+1=0$ ，该方程两根为负，闭环稳定。

如果利用状态方程的方法，那么可以令 $x_1 = x$ ， $x_2=\overset{·}{x}$ ，可以得到

{\begin{cases} \overset{\cdot}{x_{1}} = x_{2} \\ \overset{\cdot}{x_{2}} = x_{1} + x_{2} + u \end{cases}

$\begin{cases} \overset{·}{x_1}=x_2\\ \overset{·}{x_2}=x_1+x_2+u \end{cases}$

那么可以得到：

A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] C = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] D = 0 X = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}]

$A=\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ 1&1 \end{matrix}\right]\qquad B = \left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right]\qquad C=\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\qquad D = 0 \qquad X = \left[\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right]$

控制律为 $u = -KX + x_d$ ，其中 $K=[k_1, k_2]$ ，那么

\begin{aligned} (s I - A + B K)^{- 1} & = {([\begin{matrix} s & 0 \\ 0 & s \end{matrix}] - [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] [k_{1}, k_{2}])}^{- 1} \\ = {[\begin{matrix} s & - 1 \\ - 1 + k_{1} & s - 1 + k_{2} \end{matrix}]}^{- 1} \\ = \frac{1}{s^{2} + (k_{2} - 1) s + k_{1} - 1} [\begin{matrix} s - 1 + k_{2} & 1 \\ 1 - k_{1} & s \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} (sI-A+BK)^{-1} &= \left( \left[ \begin{matrix} s&0\\ 0&s \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 0 & 1\\ 1&1 \end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right][k_1, k_2]\right)^{-1}\\ &=\left[ \begin{matrix} s&-1\\ -1+k_1&s-1+k_2 \end{matrix}\right]^{-1}\\ &=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1}\left[\begin{matrix} s-1+k_2&1\\ 1-k_1&s \end{matrix}\right] \end{aligned}$

传递函数为

\begin{aligned} G_{k} (s) & = C (s I - A + B K)^{- 1} B \\ = \frac{1}{s^{2} + (k_{2} - 1) s + k_{1} - 1} [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} s - 1 + k_{2} & 1 \\ 1 - k_{1} & s \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{s^{2} + (k_{2} - 1) s + k_{1} - 1} \end{aligned}

$\begin{aligned} G_k(s)&=C(sI-A+BK)^{-1}B\\ &=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1}\left[ \begin{matrix}1&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} s-1+k_2&1\\ 1-k_1&s \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right]\\ &=\dfrac{1}{s^2+(k_2-1)s+k_1-1} \end{aligned}$

如果令 $k_1=k_2=2$ ，那么得到的特征方程为 $s^2+s+1=0$ ，与上面开始做的一样。

下图为状态反馈系统结构图

2.2 输出反馈控制器设计

控制律为 $u = -HY + v$
将控制律带入状态方程可以得到，闭环系统 $\begin{cases} \overset{·}{X}=(A-BHC)X+Bv\\ Y = CX \end{cases}$
传递函数为 $G_H(s)=C(sI-A+BHC)^{-1}B$

输出反馈可看作状态反馈的特例，比如当y=x时，C=1。

下面是输出反馈系统结构图

该控制器就是PID控制器的设计原理。

3. 反馈线性化

例3： $\overset{··}{x}=\overset{·}{x}\ ^2+x+u$ ，如何设计 $u$ ，使得 $x\rarr x_d\quad(t\rarr \infty)$ ，其中 $x_d$ 为常数。

设计 $u=-\overset{·}{x}\ ^2-x+v$

代入系统 $\overset{··}{x}=\overset{·}{x}\ ^2+x+u$

可以去掉非线性项，得到 $\overset{··}{x}=v$

上面的方程已经完成线性化，但是开环不稳定。利用反馈控制的方法，设计： $v=-\overset{·}{x}-x+x_d$

得到闭环稳定的系统： $\overset{··}{x}+\overset{·}{x}+x=x_d$

我们可以写出闭环系统的跟踪误差方程。令 $\epsilon=x-x_d$ ，则系统可以转化为

\overset{\cdot \cdot}{ϵ} + \overset{\cdot}{ϵ} + ϵ = 0

$\overset{··}{\epsilon}+\overset{·}{\epsilon}+\epsilon=0$

该方程有两个复根，可以描述成 $s_{1,2}=\alpha\plusmn\beta i$ 的形式，其中 $\alpha<0$

解可以表示为： $\epsilon_{1,2}=e^{\alpha t}(c_1cos\beta t\plusmn c_2isin\beta t)$

可以得出分析出 $\epsilon_{1,2}\rarr0$ ，说明该系统稳定。

反馈线性化方法归纳：输入-状态线性化和输入-输出线性化：

对于前者，本例中可以令 $z=z(x)=\overset{·}{x}\quad \overset{··}{x}=v$ ，则可以解得 $u=u(x, v)=-\overset{·}{x}\ ^2-x+v$ ，此时的线性系统就是 $\overset{··}{x}=v$
对于后者，本例中可以令 $y=h(x)=x$ ，故 $\overset{··}{y}=g(x,u)=\overset{··}{x}=\overset{·}{x}\ ^2+x+u$ ，这样就得到了输出 $y$ 与输入 $u$ 的关系，令 $\overset{··}{y}=v$ ，同样得到 $u=-\overset{·}{x}\ ^2-x+v$ 。