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线性二自由度汽车模型的微分方程

本部分内容系汽车理论第五章第三节，我做了一点整理和总结。

1. 二自由度

二自由度最开始是指侧向与横摆两个自由度。

下图是一个车辆坐标系下，车辆存在六个自由度：

沿x轴运动，前进运动
沿y轴运动，侧向运动
沿z轴运动，垂直运动
绕x轴转动，侧倾运动
绕y轴转动，俯仰运动
绕z轴转动，横摆运动

那么，如何将汽车的自由度限制到两个呢？

汽车理论给出了如下假设：

忽略悬架的作用。
- 汽车车身无法依靠减震器和弹性元件实现沿z轴的运动，无法上下振动。
- 也没有所谓的独立悬架和非独立悬架之分，无法左右摇动，即绕x轴的侧倾运动。
- 没有弹性元件也无法完成绕y轴的俯仰运动。
汽车前进速度不变。
- 也不用考虑沿x轴运动。因为之后汽车理论将用运动学和动力学的方式联立等式（理论力学的内容），而沿x轴速度不变意味着x轴方向的加速度为0，不用参与到联立的等式中。

上面两个假设限定了四个自由度，剩下的就是沿y轴的侧向运动和绕z轴的横摆运动，这就是汽车的二自由度。

2. 两轮汽车模型

下图是经典的简化得到的两轮汽车模型。质心为O，左边的是后轮，距离质心"轴距"为b；右边是前轮，距离质心"轴距"为a。汽车要向左转。

那么，为什么可以简化成下面的模型？主要假设是三条

忽略了悬架的作用，那么汽车车身可以看作是只做平行于地面的平面运动。
汽车侧向加速度 $a_y≤0.4g$ ，轮胎侧偏特性处于线性范围内。这一条说明，前(或后)轮的左、右两轮侧偏刚度相等，可以把左右轮压扁看成一个轮子，侧偏刚度是原来一个轮子的两倍。（这里忽略了悬架的作用，所以左右轮的垂直载荷相等，垂直载荷对侧偏刚度有一定影响）
不计地面切向力 $F_X$ 、外倾侧向力 $F_{Yγ}$ 、回正力矩 $T_Z$ 、垂直载荷的变化对轮胎侧偏刚度的影响。

3. 运动学分析

图中三处蓝色线是车辆坐标系，全平面是大地坐标系。右下的两处车辆坐标系是t和t+Δt时刻的，汽车左转，质心向左运动，
左上角的车辆坐标系比较特殊，是用来分析使用的。虚线的x、y坐标轴是t时刻的，蓝色线的速度是t+Δt时刻的。t时刻到t+Δt时刻，沿该坐标系y轴速度分量变化为

(v + Δ v) c o s Δ θ - v + (u + Δ u) s i n Δ θ

$(v+Δv)cosΔ\theta-v+(u+Δu)sinΔ\theta$

由于 $Δ\theta$ 很小，所以有

c o s Δ θ \approx 1, s i n Δ θ \approx Δ θ \approx 0

$cosΔ\theta\approx1, sinΔ\theta\approxΔ\theta\approx0$

如果再忽略二阶微量，那么沿该坐标系x轴速度分量变化可以化简为

Δ v + u Δ θ

$Δv+uΔ\theta$

上式除以Δt，并且取极限，便是汽车质心绝对加速度在车辆坐标系Oy轴的分量

a_{y} = \frac{d v}{d t} + u \frac{d θ}{d t} = \overset{\cdot}{v} + u w_{r}

$a_y=\frac{dv}{dt}+u\frac{d\theta}{dt}=\overset{·}{v}+uw_r$

这里的 $w_r$ 是横摆角速度。

4. 动力学分析

下图是二自由度汽车模型的俯视图。

下面是对该模型的一些说明：

$\delta$ 是前轮转角(方向盘输入引起的)
$\alpha_1$ 是前轮的侧偏角， $\alpha_2$ 是后轮的侧偏角
$\xi$ 是航向角， $\xi=\delta-\alpha$
$u_1$ 是前轮速度， $u_2$ 是后轮速度
$F_{Y1}$ 、 $F_{Y2}$ 是前、后轮的侧偏力，分别垂直于各自的车轮平面
点O'是此时两车轮的瞬心，是 $u_1$ 和 $u_2$ 垂线的交点。
$v_1$ 是汽车的绝对速度，方向是根据oo'连线所确定的垂线方向
质心的侧偏角 $\beta=v/u$ ， $v$ 是质心沿y轴的速度分量， $u$ 是质心沿x轴的速度分量

汽车受到的外力沿y轴方向的合力与绕质心的力矩和为：

{\begin{cases} \sum F_{Y} = F_{Y 1} c o s δ + F_{Y 2} \\ \sum M_{Z} = α F_{Y 1} c o s δ - b F_{Y 2} \end{cases}

$\begin{cases} \sum F_Y = F_{Y1}cos\delta + F_{Y2}\\ \sum M_Z = \alpha F_{Y1}cos\delta - bF_{Y2} \end{cases}$

考虑到 $\delta$ 较小，并且有 $F_{Y1}=k_1\alpha_1$ 和 $F_{Y2}=k_2\alpha_2$ ，所以上面的式子可以写成：

{\begin{cases} \sum F_{Y} = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} \\ \sum M_{Z} = α k_{1} α_{1} - b k_{2} α_{2} \end{cases}

$\begin{cases} \sum F_Y = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\\ \sum M_Z = \alpha k_1\alpha_1- bk_2\alpha_2 \end{cases}$

航向角可以近似成前轮速度的正切。v向可以看成是相对于质心的速度矢量加上一个旋转的切向速度(理论力学的内容~)。表达如下式：

ξ \approx t a n ξ = \frac{v + a w_{r}}{u} = β + \frac{a w_{r}}{u}

$\xi \approx tan\xi = \frac{v+a w_r}{u}=\beta+\frac{a w_r}{u}$

于是可以表达前、后轮的侧偏角:

{\begin{cases} α_{1} = - (δ - ξ) = β + \frac{a w_{r}}{u} - δ \\ α_{2} = \frac{v - b w_{r}}{u} = β - \frac{b w_{r}}{u} \end{cases}

$\begin{cases} \alpha_1=-(\delta-\xi)=\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta\\ \alpha_2=\dfrac{v-bw_r}{u}=\beta-\dfrac{bw_r}{u} \end{cases}$

由此，可以得到汽车外力、外力矩和汽车运动参数的关系：

{\begin{cases} \sum F_{Y} = k_{1} (β + \frac{a w_{r}}{u} - δ) + k_{2} (β - \frac{b w_{r}}{u}) \\ \sum M_{Z} = α k_{1} (β + \frac{a w_{r}}{u} - δ) - b k_{2} (β - \frac{b w_{r}}{u}) \end{cases}

$\begin{cases} \sum F_Y = k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)+k_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})\\ \sum M_Z = \alpha k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)- bk_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u}) \end{cases}$

5. 运动微分方程

联立运动学和动力学方程，有：

{\begin{cases} k_{1} (β + \frac{a w_{r}}{u} - δ) + k_{2} (β - \frac{b w_{r}}{u}) = m (\overset{\cdot}{v} + u w_{r}) \\ α k_{1} (β + \frac{a w_{r}}{u} - δ) - b k_{2} (β - \frac{b w_{r}}{u}) = I_{Z} \overset{\cdot}{w_{r}} \end{cases}

$\begin{cases} k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)+k_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})=m(\overset{·}{v}+uw_r)\\ \alpha k_1(\beta + \dfrac{a w_r}{u}-\delta)- bk_2(\beta-\dfrac{bw_r}{u})=I_Z\overset{·}{w_r} \end{cases}$

其中 $I_Z$ 为汽车绕z轴的转动惯量， $\overset{·}{w_r}$ 为汽车横摆角加速度。

整理可得二自由度汽车运动微分方程式：

{\begin{cases} (k_{1} + k_{2}) β + \frac{1}{u} (a k_{1} - b k_{2}) w_{r} - k_{1} δ == m (\overset{\cdot}{v} + u w_{r}) \\ (a k_{1} - b k_{2}) β + \frac{1}{u} (a^{2} k_{1} + b^{2} k_{2}) w_{r} - a k_{1} δ = I_{Z} \overset{\cdot}{w_{r}} \end{cases}

$\begin{cases} (k_1+k_2)\beta+\dfrac{1}{u}(ak_1-bk_2)w_r-k_1\delta==m(\overset{·}{v}+uw_r)\\ (ak_1-bk_2)\beta+\dfrac{1}{u}(a^2k_1+b^2k_2)w_r-ak_1\delta=I_Z\overset{·}{w_r} \end{cases}$

该联立的方程式，包含了汽质量和轮胎侧偏刚度两方面的参数，能反映汽车运动曲线的基本特征。

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