【每日算法】动态规划四
53.最大子序和
难度[简单]
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：
输入：nums = [0]
输出：0
示例 4：
输入：nums = [-1]
输出：-1
示例 5：
输入：nums = [-100000]
输出：-100000
定义f(x)为前x项的子序列的最大和
if f(x-1)<0 and nums[x]>0:
f(x)=nums[x]
if f(x-1)<0 and nums[x]<0:
f(x)=nums[x]#如果都是负数，则当前数就是最大的
if f(x-1)>0 and nums[x]>0:
f(x)=f(x-1)+nums[x]
if f(x-1)>0 and nums[x]<0:
f(x)=nums[x]#前x-1项都是正数，当前数为负数，则需要重新计算
因此，if f(x-1)<0 or nums[x]<0:
f(x)=nums[x]
else:# f(x-1)>0 and nums[x]>0
f(x)=f(x-1)+nums[x]
可以推到出递推公式为：dp[i]=max(dp[i-1],0)+nums[i]
定义初始值dp[0]=nums[0]
class Solution(object):
def maxSubArray(self, nums):
n=len(nums)
dp=[0]*n
dp[0]=nums[0]
# dp[i]=max(dp[i-1],0)+nums[i]
for i in range(1,n):
dp[i]=max(dp[i-1],0)+nums[i]
return max(dp)
55.跳跃游戏
难度[中等]
给定一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的 第一个下标 。
数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
判断你是否能够到达最后一个下标。
示例 1：
输入：nums = [2,3,1,1,4]
输出：true
解释：可以先跳 1 步，从下标 0 到达下标 1, 然后再从下标 1 跳 3 步到达最后一个下标。
示例 2：
输入：nums = [3,2,1,0,4]
输出：false
解释：无论怎样，总会到达下标为 3 的位置。但该下标的最大跳跃长度是 0 ， 所以永远不可能到达最后一个下标。
从头开始遍历，按每个坐标和对应的值跳到下个，然后从下个继续按坐标和值往后跳，如果能跳到超过数组的最大长度，则可以跳到最后一个位置
class Solution(object):
def canJump(self, nums):
jump_max=0
for i,v in enumerate(nums):
if i>jump_max:
return False
jump=i+v
jump_max=max(jump,jump_max)
# print(jump,jump_max)
return True
45.跳跃游戏II
难度[中等]
给你一个非负整数数组 nums ，你最初位于数组的第一个位置。
数组中的每个元素代表你在该位置可以跳跃的最大长度。
你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置。
假设你总是可以到达数组的最后一个位置。
示例 1:
输入: nums = [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳 1 步，然后跳 3 步到达数组的最后一个位置。
示例 2:
输入: nums = [2,3,0,1,4]
输出: 2
定义f(i,j)为从i到j所需的最小跳跃数
dp[end] =min(dp[end],dp[start]+1)
class Solution(object):
def jump(self, nums):
n=len(nums)
s,m,e=0,0,0
for i in range(n-1):
m=max(m,i+nums[i])#一次能跳的最远距离
if i==e:
e=m
s+=1
return s
def jump2(self, nums):
n=len(nums)
dp=[n]*n
dp[0]=0
for i in range(n):
end=min(n,i+nums[i]+1)
# print(i,end,dp)
for j in range(i,end):
dp[j]=min(dp[j],dp[i]+1)
return dp[-1]
