用一个例子理解拉格朗日乘数法解决等式约束优化问题

首先我们来看看一个实例：

$$\begin{aligned} &min &f(x,y)&=x^2+y^2\\ &s.t. &xy&=3 \end{aligned}$$

即：在定义域$xy=3$内，求$f(x,y)$的最小值。
两个函数的图像如下：

$z=x^2+y^2$

$xy=3$

让我们把两个图像融合到一起：

$z=x^2+y^2$与$xy=3$

在$z=x^2+y^2$上划过的两个抛物线就是当点$(x,y)$满足$xy=3$时的点在$z$上的取值。这两条抛物线上的点$(x,y,z)$一 一对应着二维平面上的点$(x,y)$。二维平面上的两条双曲线就是当前问题的可行域（满足约束条件的点的集合）的可视化表示。现在让我们来看看对$z$从最底部往上开始做水平切割，每次的切口都是一个圆，每个圆都对应着下面的二维平面上的一个圆，即等高线。随着往上攀爬，切口的圆表示的$z$值越来越大，对应的等高线圆的也越来越大，当切口碰到那两条抛物线时，也就是在可行域内，$z$取到了值，之前的值虽然都比现在的小，但是不作数，因为当时的值对应的点$(x,y)$不在可行域内。继续往上，我们知道，$z$的取值会变大，也就是说，只有在切口圆第一次碰到抛物线的时候，$z$便已经取到了最大值，此时的切口圆对应的二维平面上的圆刚好与双曲线相切。

现在让我们回到二维的平面，来看看相切时有什么等式成立:

$z=x^2+y^2$及其等高线

$xy=3$

三维视角下相切时可行域曲线与目标函数等高线

二维视角下相切时可行域曲线与目标函数等高线

在相切时取最小值，另外在相切时有以下等式成立（下式为自己的理解，没有参考书籍，可能有误）：

$${\nabla}_{x,y} f(x,y) = \lambda \vec{w_g},\lambda \in R$$

其中，$\vec{w_g}$ 表示函数$g$的法向量，${\nabla}_{x,y} f(x,y)$ 为函数$f(x,y)$在相切点$(x,y)$的梯度。

通过上式，我们可以得到：

$$\left(\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y}\right) = \lambda \left(\vec{w_gx},\vec{w_gy} \right)$$

即：

$$\begin{aligned} 2x &= \lambda y\\ 2y &= \lambda x \end{aligned}$$

另外，我们有：

$$xy=3$$

综合这三个等式，得到:

$$(x,y) \in \{(\sqrt{3},\sqrt{3}),(-\sqrt{3},-\sqrt{3})\}$$

所以$min f(x,y) = 6$。

其实我不是很明白为什么低维的成立后，就可以运用到高维，而且高维的情况基本上都是重复几次低维的情况即可。

另外，我们常见的拉格朗日乘数法的形式为：

$$\begin{aligned} & min &&z=f(x,y) \\ & s.t. &&c_i(x,y)=0, i=1,2,...,n \end{aligned}$$

其写成拉格朗日函数的形式为：

$$min \space L(x,\alpha,\beta) = min (f(x,y) + \sum^{n}_{i=1} \lambda_i c_i(x,y))$$

其实可以理解为：在可行域内，找到能够使$f(x,y)$的等高线，与所有$c$，同时相切的，所有$(x,y)$对应的值。另外， $\sum^{n}_{i=1} \lambda_i c_i(x,y))$ 可以看作是由多个函数组成的，单个函数，让我们记作为$\psi$。那么就可以套用上面的例子里面的推理过程，即：

$$\left(\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y}\right) = \lambda \left(\frac{\Delta \psi}{\Delta x} ,\frac{\Delta \psi}{\Delta y} \right) = \lambda_1 \left(\frac{\Delta c_1(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta c_1(x,y)}{\Delta y} \right) + \lambda_2 \left(\frac{\Delta c_2(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta c_2(x,y)}{\Delta y} \right) + \cdots+ \lambda_n \left(\frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta x} ,\frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta y} \right)$$

即（注意，下面的$\lambda_i$与上面的$\lambda_i$不是同一个）：

$$\begin{aligned} \frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} &= \lambda_1 \frac{\Delta c_1(x,y)}{\Delta x}\\ \frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y} &= \lambda_1 \frac{\Delta c_1(x,y)}{\Delta y}\\ \frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} &= \lambda_2 \frac{\Delta c_2(x,y)}{\Delta x}\\ \frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y} &= \lambda_2 \frac{\Delta c_2(x,y)}{\Delta y}\\ & \space \space \vdots \\ \frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} &= \lambda_n \frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta x}\\ \frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y} &= \lambda_n \frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta y}\\ \end{aligned}$$

对于每组待解变量$(x,y,\lambda_i)$，都有三个方程组：

$$\begin{aligned} &f(x,y)=0, \\ &\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta x} = \lambda_n \frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta x},\\ &\frac{\Delta f(x,y)}{\Delta y} = \lambda_n \frac{\Delta c_n(x,y)}{\Delta y}\\ \end{aligned}$$

所以，是能够解出$(x,y)$的。
参考文献：

拉格朗日乘数法 —— 通俗理解