联立方程组的妙处（为什么要联立方程组）

假设有以下方程组：

$$\begin{aligned} xy&=3,\\ y&=x \end{aligned}$$

他们的图像如下：

如果我们要找到同时满足两个等式的点，该怎么做呢？ 也许会想到联立方程组，但是为什么联立呢？或许在我说之前，还想不到要联立。

我们知道，满足式$xy=3$的点都在上图的两条曲线上，也就是说，使该式成立的所有的点都在那两条曲线上，满足式$y=x$的点都在那条直线上，好了，现在让我们来看看，把这两个式子加起来是什么样的：

$$xy+y=3+x$$

那么，满足这个等式的点在哪里呢？是曲线吗？很明显不全是，因为曲线中的很多点都只能使式中左右两边的某一部分相等（$xy$和$3$)，但并不能使其他的部分相等($y$和$x$)。那么直线中的点呢？很遗憾，其中大部分也是只能够使其中一部分相等。直线和曲线外？欧，那更不可能，不信你可以试试，另外，如果线外的点能够满足这个等式，那么就一定满足这个等式蕴含的子等式，那么这些自等式为什么没有经过这个点呢？让我们来看看直线和两条曲线的交点，对于任意一个交点，其既能够使得$xy$和$3$相等，也能够使得$y$和$x$相等，那么就能够使得上式成立。可见，等式相加的目的就是为了联合约束条件，满足相加的等式（$xy+y=3+x$）的点(交点)，就是满足被加的所有等式（$xy=3$和$y=x$）的点。这，就是联立方程组的原因。