联立方程组的妙处(为什么要联立方程组)
假设有以下方程组:
\[\begin{aligned}
xy&=3,\\
y&=x
\end{aligned}
\]
他们的图像如下:
![](https://img2022.cnblogs.com/blog/2724624/202209/2724624-20220926203131903-705284542.png)
我们知道,满足式\(xy=3\)的点都在上图的两条曲线上,也就是说,使该式成立的所有的点都在那两条曲线上,满足式\(y=x\)的点都在那条直线上,好了,现在让我们来看看,把这两个式子加起来是什么样的:
\[xy+y=3+x
\]
那么,满足这个等式的点在哪里呢?是曲线吗?很明显不全是,因为曲线中的很多点都只能使式中左右两边的某一部分相等(\(xy\)和\(3\)),但并不能使其他的部分相等(\(y\)和\(x\))。那么直线中的点呢?很遗憾,其中大部分也是只能够使其中一部分相等。直线和曲线外?欧,那更不可能,不信你可以试试,另外,如果线外的点能够满足这个等式,那么就一定满足这个等式蕴含的子等式,那么这些自等式为什么没有经过这个点呢?让我们来看看直线和两条曲线的交点,对于任意一个交点,其既能够使得\(xy\)和\(3\)相等,也能够使得\(y\)和\(x\)相等,那么就能够使得上式成立。可见,等式相加的目的就是为了联合约束条件,满足相加的等式(\(xy+y=3+x\))的点(交点),就是满足被加的所有等式(\(xy=3\)和\(y=x\))的点。这,就是联立方程组的原因。