高维空间中，点的超平面的距离

首先来看看三维的：

如下图所示，在三维空间中，假设平面$U=\{x \in R^3|0=W^T·x+b, b \in R, W \in R^2\}$,$W$为$U$的法向量；平面外一点$X$，$U$内一点$X'$,那么$X$到$U$的距离为：

$$\begin{aligned} L &= |X-X'|·|cos \langle W,X-X' \rangle|\\ &= \frac{|W·(X-X')|}{|W|}\\ &= \frac{|W·X-W·X'|}{|W|}\\ \because 0 &= W^T·x+b, x \in U,X' \in U \\ \therefore L &= \frac{|W·X-W·X'|}{|W|}\\ &= \frac{|W·X+b|}{|W|} \end{aligned}$$

然后我们来看看高维的：

在$n$维空间中，假设平面$U=\{x \in R^n|0=W^T·x+b, b \in R, W \in R^n \}$,$W$为$U$的法向量；平面外一点$X \in R^n$，$U$内一点$X'$,那么$X$到$U$的距离为：

$$\begin{aligned} L &= \frac{|W·(X-X')|}{|W|} \\ \because 0 &= W^T·x+b, x \in U,X' \in U \\ \therefore L &= \frac{|W·X-W·X'|}{|W|}\\ &= \frac{|W·X+b|}{|W|} \end{aligned}$$