向量内积和向量点积的关系及点积的几何意义。

以二维为例子：

首先，向量内积的定义为：

\[a·b = |a||b|cos\theta \tag{1.1}\label{1.1} \]

其中，

\[a = (a_1,a_2)\\ b = (b_1,b_2) \]

根据余弦定理：

\[cos\theta = \frac{|b|^2+|a|^2-|c|^2}{2|a||b|} \tag{1.2}\label{1.2}\]

其中，

\[c = b-a = (b_1-a_1,b_2-a_2) \tag{1.3}\label{1.3} \]

综合\(\eqref{1.1}\)、\(\eqref{1.2}\)、\(\eqref{1.3}\)：

\[\begin{aligned} a·b &= |a||b|*\frac{|b|^2+|a|^2-|b-a|^2}{2|a||b|}\\ &= \frac{b_1{^2}+b_2{^2}+a_1{^2}+a_2{^2}-((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2)}{2}\\ &= \frac{b_1{^2}+b_2{^2}+a_1{^2}+a_2{^2}-(b_1{^2}+a_1{^2}-2b_1a_1+b_2{^2}+a_2{^2}-2b_2a_2)}{2}\\ &= a_1b_1+a_2b_2 \end{aligned} \]

所以，向量点积应该是在向量内积的基础之上推导出来的。

现在让我们来看看高维度的情况：

以高维为例子：

令：

\[\begin{aligned} a &= (a_1,a_2,\cdots,a_n)\\ b &= (b_1,b_2,\cdots,b_n) \end{aligned} \]

向量内积定义为：$$a·b = |a||b|cos\theta \tag{2.1}$$
其中:

\[cos\theta = \frac{|b|^2+|a|^2-|c|^2}{2|a||b|} \tag{2.2}\label{2.2} \]

那么：

\[\begin{aligned} a·b &= |a||b|*\frac{|b|^2+|a|^2-|b-a|^2}{2|a||b|}\\ &= \frac{b_1{^2}+b_2{^2}+\cdots+b_n{^2} +a_1{^2}+a_2{^2}+\cdots+a_n{^2} -((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+\cdots+(b_n-a_n){^2})}{2}\\ &= \frac{b_1{^2}+b_2{^2}+\cdots+b_n{^2} +a_1{^2}+a_2{^2}+\cdots+a_n{^2} -(b_1{^2}+a_1{^2}-2b_1a_1+b_2{^2}+a_2{^2}-2b_2a_2+\cdots+b_n{^2}+a_n{^2}-2b_na_n)}{2}\\ &=\frac{2b_1a_1+2b_2a_2+\cdots+2b_na_n}{2}\\ &= a_1b_1+a_2b_2+\cdots+b_na_n \end{aligned} \]

所以，内积的结果，可以被转化为坐标对应位置的元素的乘积之和，这种乘积之和称为点积。

点积的几何意义

由\(\ref{2.2}\)可知，若点积为0，那么\(cos\theta\)为0，即两个向量垂直。