超平面详解

参考文献

[1] https://blog.csdn.net/denghecsdn/article/details/77313758

以下是我阅读其之后的一些总结。

超平面的定义

n 维空间中的超平面由下面的方程确定[1]:

$$w^Tx+b=0$$

其中，

$$\begin{aligned} x &= \left [ \begin{matrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{matrix} \right ]^T\\ w &= \left[ \begin{matrix} w_1&w_2&\cdots&w_n \end{matrix} \right]^T \end{aligned}$$

$w$为法向量表示超平面的方向，$b$为一个实数表示超平面到原点的距离。

现在让我们来看看$w$和$b$的具有上述意义的原因

$w$为什么是超平面的方向

什么是平面

由各个分量的线性组合构成的点的集合，这个平面的自由度比空间的自由度小1。

超平面是纯粹的数学概念，不是物理概念，它是平面中的直线、空间中的平面的推广，只有当维度大于3，才称为“超”平面。 [1]

什么是自由度

可以简单的理解为：

至少要给定多少个分量的值才能确定一个点 [1]

例如三维空间中的只要给定了任意两个分量的值，剩下的那个就是确定了的（超平面的表达式为各分量的线性组合），所以三维空间中的（超）平面的自由度为2，也就是说，至少需要确定2个分量的值才能确定一个点。

超平面的另一种定义

给定向量空间 $R_n$ 中的一个点 $p$ 和一个非零向量$n$ ,满足： $$n*(i-p)=0$$

则称点集$i$为通过点$p$的超平面，$n$为通过超平面的法向量。

现在让我们来看看这个公式是怎么来的。
给定向量$\textbf {a}=\left[\begin{matrix} a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\end{matrix}\right]$,$b\neq 0\space \and\in R$,$c \in R$,超平面$(\textbf {a},b,c)$则可以表示为：

$$\textbf {a}·\textbf {x}+\frac{1}{b}y+c=0$$

tip: y的系数为$\frac{1}{b}$只是为了后面式子的简洁。
则： $$y=-\textbf {a}·b\textbf {x}-bc$$

点$(\textbf {x},y)$则可以表示为：

$$\begin{aligned} (\textbf {x},y) &= (\textbf {x},-\textbf {a}·b\textbf {x}-bc)\\ &= \textbf{x}(1,-\textbf {a}·b)+(\textbf{0},-bc) \end{aligned}$$

这个超平面（直线）的意义为：

过点$(\textbf{0},-bc)$,方向（方向向量）为$(1,-\textbf{a}·b)$的超平面（直线）

我们令$n=(\textbf{a},\frac{1}{b}),i=(\textbf{x},y)$,则：

$$n·i+c=0$$

我们在超平面(直线)$(\textbf{a},b,c)$上取一个点$p_0$，即令$i=p_0$,那么: $$c=-n·p_0$$
则有：

$$\begin{aligned} n·i-n·p_0 &= 0\\ n·(i-p_0)&=0 \end{aligned}$$

$$\because i \in (\textbf{a},b,c) \and p_0 \in (\textbf{a},b,c)$$

$$\therefore i-p_0 \in (\textbf{a},b,c)$$

根据向量点积的几何意义知：$n\bot(\textbf{a},b,c)$,所以对于超平面$\textbf {a}·\textbf {x}+\frac{1}{b}y+c=0$,其法向量$n=\left[\begin{matrix} \textbf{a}&\frac{1}{b} \end{matrix}\right]$.
一般的，对于超平面$\textbf {w}·\left[\begin{matrix} \textbf {x}&y\end{matrix}\right]+c=0$,其法向量为$\textbf {w}$.