数学期望的定义:
离散型:
E(X)=+∞∑i=−∞pixi
连续型:
E(X)=∫+∞−∞f(x)xdx
其中,f(x)为概率密度函数。
连续型的表达式可以由离散型的表达式推导得到:
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首先将连续型随机变量 X 的取值离散化,即将X的取值范围划分为n份,每份的长度为Δx,每个区间的取值开头为:x1,x2,...,在区间[xi,xi+Δx)
内,概率为:
P(xi≤x<xi+Δx)=∫xi+Δxxif(xi)dx≈f(xi)∗Δx
那么,期望就可以近似表示为:
E(X)≈+∞∑i=−∞(f(xi)Δx)x
假设所有的Δx等长,如果我们令Δx→0,那么:
E(X)=∫+∞−∞f(xi)xdx
方差的定义:
V(X)=E([X−E(X)]2)=E(X2+E2(X)−2XE(X))=E2(X)+E(X2−2X(E(X)))=E2(X)+E(X2)−2(E(X)(E(X)))=E(X2)−E2(X)
方差的一些性质:
假设随机变量X和Y独立,根据方差的定义,有:
V(XY)=E(X2Y2)−E2(XY)=E(X2)E(Y2)−E(XY)E(XY)=E(X2)E(Y2)−E(X)E(Y)E(X)E(Y)=E(X2)E(Y2)−E2(X)E2(Y)=[V(X)+E2(X)][V(Y)+E2(Y)]−E2(X)E2(Y)=V(X)V(Y)+V(X)E2(Y)+V(Y)E2(X)
参考书籍:
《概率论与数理统计 (同济大学数学系)》
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