数学期望和方差的定义和一些性质

数学期望的定义:
离散型:

E(X)=i=+pixi

连续型:

E(X)=+f(x)xdx

其中,f(x)为概率密度函数。

连续型的表达式可以由离散型的表达式推导得到:
image

首先将连续型随机变量 X 的取值离散化,即将X的取值范围划分为n份,每份的长度为Δx,每个区间的取值开头为:x1,x2,...,在区间[xi,xi+Δx)
内,概率为:

P(xix<xi+Δx)=xixi+Δxf(xi)dxf(xi)Δx

那么,期望就可以近似表示为:

E(X)i=+(f(xi)Δx)x

假设所有的Δx等长,如果我们令Δx0,那么:

E(X)=+f(xi)xdx

方差的定义:

V(X)=E([XE(X)]2)=E(X2+E2(X)2XE(X))=E2(X)+E(X22X(E(X)))=E2(X)+E(X2)2(E(X)(E(X)))=E(X2)E2(X)

方差的一些性质:

假设随机变量XY独立,根据方差的定义,有:

V(XY)=E(X2Y2)E2(XY)=E(X2)E(Y2)E(XY)E(XY)=E(X2)E(Y2)E(X)E(Y)E(X)E(Y)=E(X2)E(Y2)E2(X)E2(Y)=[V(X)+E2(X)][V(Y)+E2(Y)]E2(X)E2(Y)=V(X)V(Y)+V(X)E2(Y)+V(Y)E2(X)

参考书籍:

《概率论与数理统计 (同济大学数学系)》

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