数学期望和方差的定义和一些性质
数学期望的定义：
离散型：
\[E(X) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty}p_ix_i
\]
连续型：
\[E(X)=\int^{+\infty}_{-\infty}{f(x)xdx}
\]
其中，\(f(x)\)为概率密度函数。
连续型的表达式可以由离散型的表达式推导得到：
首先将连续型随机变量 \(X\) 的取值离散化，即将\(X\)的取值范围划分为n份，每份的长度为\(\Delta x\),每个区间的取值开头为：\(x_1,x_2,...\),在区间\(
[x_i,x_i+\Delta x)\)
内，概率为:
\[P(x_i\leq x<x_i+\Delta x)=\int_{x_i}^{x_i+\Delta x}f(x_i)dx \approx f(x_i)*\Delta x
\]
那么，期望就可以近似表示为：
\[E(X) \approx \sum_{i=-\infty}^{+\infty} (f(x_i)\Delta x)x
\]
假设所有的\(\Delta x\)等长,如果我们令\(\Delta x \to 0\),那么：
\[E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x_i)xdx
\]
方差的定义：
\[\begin{align*}
V(X) &= E([X-E(X)]^2)\\
&= E(X^2+E^2(X)-2XE(X))\\
&= E^2(X)+E(X^2-2X(E(X)))\\
&= E^2(X)+E(X^2)-2(E(X)(E(X)))\\
&= E(X^2)-E^2(X)
\end{align*}
\]
方差的一些性质：
假设随机变量\(X\)和\(Y\)独立，根据方差的定义，有：
\[\begin{align*}
V(XY)&=E(X^2Y^2)-E^2(XY)\\
&=E(X^2)E(Y^2)-E(XY)E(XY)\\
&=E(X^2)E(Y^2)-E(X)E(Y)E(X)E(Y)\\
&=E(X^2)E(Y^2)-E^2(X)E^2(Y)\\
&=[V(X)+E^2(X)][V(Y)+E^2(Y)]-E^2(X)E^2(Y)\\
&=V(X)V(Y)+V(X)E^2(Y)+V(Y)E^2(X)
\end{align*}
\]
参考书籍：
《概率论与数理统计 (同济大学数学系)》
