《数据结构与算法之美》 学习笔记

02 如何抓住重点，系统高效地学习数据结构与算法

什么是数据结构？什么是算法？

• 从广义上讲，数据结构就是指一组数据的存储结构算法就是操作数据的一组方法；
• 从侠义上讲，是指某些著名的数据结构和算法，比如队列、栈、堆、二分查找、动态规划等；

数据结构和算法是相辅相成的，数据结构是为了算法服务的，算法要作用在特定的数据结构之上。因此，我们无法孤立数据结构来讲算法，也无法孤立算法来讲数据结构。

复杂度分析

• 用于考量一效率和资源消耗的方法；

常用的数据结构和算法

• 数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、调表、图、Trie 树；
• 递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法；

事半功倍的学习技巧

• 边学边练。适度刷题；
• 多问、多思考、多互动；
• 大概升级学习法
• 知识需要沉淀，不要试图一下子掌握所有；

03 & 04 复杂度分析

如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

为什么需要复杂度分析？

通过实际的代码运行来统计运行效率的方法叫做是事后统计法，这种方法存在如下如下问题：

• 测试结构非常依赖测试环境；
• 测试结构受数据规模的影响很大；

所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，可以粗略地估计算法的执行效率的方法，这就是 时间、空间复杂度分析方法。

大 O 复杂度表示法

公式：T(n) = O(f(n))

• n：表示数据规模的大小；
• T(n)：表示代码执行的时间；
• f(n)：表示每行代码执行的次数总和；
• O：表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比；

这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势，当 n 很大时，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以可以忽略。

示例代码 01

int cal(int n){
    int sum = 0
    int i = 1;
    for(;i<=n;i++){
        sum = sum + i;
    }
}

假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time，那么上述代码总的执行时间为：(2n+2)*unit_time，大 O 表示法为：T(n) = O(2n+2)，当 n 很大时，可记为 T(n) = O(n)

示例代码 02

int cal(int n){
    int sum = 0;
    int i = 1;
    int j = 1;
    for(;i<=n;++i){
        j = 1;
        for(;<=n;++j){
            sum = sum + i*j
        }
    }
}

假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time，那么上述代码总的执行时间为：(2n²+2n+3)*unit_time, 大 O 表示法为：T(n) = O(2n²+2n+3), 当 n 很大时，可记为 T(n) = O(n²)

时间复杂度分析

渐进时间复杂度

• 只关注循环执行次数最多的一段代码；
• 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度；（如果 T1(n) = O(f(n)),T2(n) = O(g(n)); 那么 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)),O(g(n))) = O(max(f(n),g(n)))）
• 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积；（如果 T1(n) = O(f(n)),T2(n) =O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))）

几种常见时间复杂度实例分析

• 复杂度量级（按数量级递增）
• 常量阶 O(1)
• 指数阶 O(2ⁿ)
• 对数阶 O(log_n)
• 阶乘阶 O(n!)
• 线性阶 O(n)
• 线性对数阶 O(nlog_n)
• 平方阶 O(n²)
• 立方阶 O(n³)
• k次方阶 O(n^k)
• ......

对于上述罗列的复杂度量级，可以粗略地分为两类：多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2ⁿ) 和 O(n!)。当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无线增长。苏欧阳，非多项式时间复杂度的算法其实是效率非常低的算法。

空间复杂度分析

渐进空间复杂度

表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系，常见的空间复杂度如下：

• O(1)
• O(n)
• O(n²)

浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

• 最坏、最好情况时间复杂度
• 平均情况时间复杂度
• 均摊时间复杂度

05 数组

是一种线性表数据结构，用一组连续的内存空间来存储一组具有相同类型的数据。

• 支持随机访问；
• 低效的 插入 和 删除，平均复杂度为 O(n)；
• 警惕数组的访问越界问题；

使用建议：

• 如果特别关注性能，或者希望使用基本类型，可以选用数组；
• 如果数据大小事先已知，并且对数据的操作非常简单，可以直接使用数组；
• 当要表示多维数组时，用数组往往会更加直观；
• 对于业务开发，直接使用集合类型就足够了，省时省力；如果时作一些非常底层的开发，这个时候数组就会优于集合；

为什么在大多数的编程语言中，数组要从 0 开发编号，而不是 1 ？

从数组存储的内存模型上来看，下标 最确切的定义应该是 偏移(offset)，这样就能确保正确计算出每次随机访问的元素对于的内存地址，这样就好理解了。

06 & 07 链表

是一种线性数据结构，用一组非连续的内存空间来存储一组具有相同类型的数据。

• 不存储越界问题；
• 相比数组，插入和删除较为高效；

数组 VS 链表 时间复杂度比较：

	数组	链表
插入、删除	O(n)	O(1)
随机访问	O(1)	O(n)

常见的链表类型：

• 单链表
• 循环链表
• 双向链表
• 双向循环链表（以空间换时间）

缓存问题

缓存策略常有如下三种方式：

• 先进先出策略 FIFO（First In,First Out）
• 最少使用策略 LFU（Least Frequently Used）
• 最近最少使用策略 LRU（Least Recently Used）

如何基于链表实现 LRU 缓存淘汰算法？

思路：维护一个有序单链表，越靠近链表尾部的结点是越早之前访问，当有一个新的数据被访问时，从链表头开始顺序遍历单链表。

1. 如果此数据之前已经被缓存在链表中了，我们遍历得到这个数据对应的结点，并将其从原来的位置删除，然后再插入到链表的头部。

2. 如果此数据没有在缓存链表中，又可以分为两种情况：

   • 如果此时缓存未满，则将此结点直接擦汗如到链表的头部；
   • 如果此时缓存已满，则链表尾结点删除，将心的数据结点插入到链表头部。

时间复杂度为：O(n)

如何轻松写出正确的链表代码？

• 理解指针或引用的含义
• 警惕指针丢失和内存泄漏
• 利用哨兵简化实现难度
• 重点留意边界条件处理
• 举例画图，辅助思考
• 多写多练，没有捷径

5 种常见的链表操作

• 单链表反转
• 链表中环的检测
• 两个有序链表合并
• 删除链表倒数第 n 个结点
• 求链表的中间结点

08 栈

当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据，并且满足后进先出、先进后出的特性，我们就应该首选 栈 这种数据结构

不管是顺序栈还是链式栈，入栈、出栈只涉及栈顶个别数据的操作，所有时间复杂度都是 O(1)。栈是一种操作受限的数据结构，只支持入栈和出栈操作。后进先出是它最大的特点。栈既可以通过数组实现，也可以通过链表实现。

内存中的堆栈和数据结构中的堆栈不是一个概念，内存中的堆栈是真实存在的物理区，数据结构中的堆栈是抽象出来的数据存储结构：

内存空间在逻辑上分为三部分：

• 代码区：存储方法体的二级制代码。高级调度（作业调度）、中级调度（内存调度）、低级调度（进程调度）控制代码区执行代码的却换；
• 静态数据区：存储全局变量、静态变量、常量，由系统自动分配和回收；
• 栈区：存储运行方法的形参、局部变量、返回值，由系统自动分配和回收；
• 堆区：new 一个对象的引用或地址存储在栈区，执行该对象存储在堆区中的真实数据。

09 队列

先进者先出

不管是顺序队列还是链式队列，主要的两个操作是入队和出队，最大特点是先进先出。

几种高级的队列结构：

• 阻塞队列（生产者-消费者问题）；
• 并发队列（多线程与原子锁操作）；

10 递归

递归需要满足的三个条件：

• 一个问题的解可以分解为几个子问题的解；
• 这个问题与分解之后的子问题，出来数据规模不同，求解思路完全一样；
• 存在递归终止条件；

如何编写递归代码？

• 递推公式
• 终止条件

缺点：

• 堆栈溢出
• 重复计算
• 函数调用耗时多
• 空间复杂度高
• ......

11&12 排序

常见排序算法：

排序算法	时间复杂度	是否基于比较
冒泡、插入、选择	O(n2)	是
快排、归并	O(nlogn)	是
桶、计数、基数	O(n)	否

如何分析一个 “排序算法”？

• 执行效率
  • 最好、最坏、平均情况的时间复杂度；
  • 时间复杂度的系数、常数、低阶；
  • 比较次数和交换（移动）次数；
• 内存消耗
• 稳定性

冒泡排序

冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一 个元素移动到它应该在的位置，重复n次，就完成了n个数据的排序工作。

示例代码：

class Solution():
    def bubbleSort(self, lis: list, n: int):
        if n <= 1:
            return
        for i in range(len(lis)):
            flag = False
            for j in range(len(lis)-i-1):
                if lis[j] > lis[j+1]:
                    lis[j], lis[j+1] = lis[j+1], lis[j]
                    flag = True
            if not flag:
                break

arr = [4, 5, 6, 3, 2, 1]
print(arr)
Solution().bubbleSort(arr, len(arr))
print(arr)

• 冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为O(1)，是一个原地排序算法。
• 在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，我们不做交换，相同大小的 数据在排序前后不会改变顺序，所以冒泡排序是稳定的排序算法。
• 最好情况下，要排序的数据已经是有序的了，我们只需要进行一次冒泡操作，就可以结束了，所以最好情况时间复杂度是O(n)。而最坏的情况是，要排序的数据 刚好是倒序排列的，我们需要进行n次冒泡操作，所以最坏情况时间复杂度为O(n²)。

插入排序

插入算法的核心思想是取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程，直到未排序区间中元素为空，算法结束。

示例代码：

class Solution():
    def insertionSort(self, lis: list, n: int):
        if n <= 1:
            return
        for i in range(1, len(lis)):
            val = lis[i]
            j = i-1
            while j >= 0:
                if lis[j] > val:
                    lis[j+1] = lis[j]
                j -= 1
            lis[j+1] = val


attr = [4, 5, 6, 3, 2, 1]
print(attr)
Solution().insertionSort(attr, len(attr))
print(attr)

• 从实现过程可以很明显地看出，插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是O(1)，也就是说，这是一个原地排序算法。
• 在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定 的排序算法。
• 如果要排序的数据已经是有序的，我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位 置。所以这种情况下，最好是时间复杂度为O(n)。注意，这里是从尾到头遍历已经有序的数据。 如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为O(n²)。对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行 n 次插入操作，所以平均时间复杂度为O(n²)。

选择排序

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末 尾。

示例代码：

class Solution():
    def selectSort(self, lis: list, n: int):
        if n <= 1:
            return
        for i in range(0, len(lis) - 1):
            index = i
            for j in range(i+1, len(lis)):
                if lis[index] > lis[j]:
                    index = j
            lis[i], lis[index] = lis[index], lis[i]


attr = [4, 5, 6, 3, 2, 1]
print(attr)
Solution().selectSort(attr, len(attr))
print(attr)

• 选择排序空间复杂度为O(1)，是一种原地排序算法。
• 选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为O(n²)。
• 选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素 交换位置，这样破坏了稳定性。是一种不稳定的排序算法。

	是否原地排序	是否稳定	最好	最坏	平均
冒泡	是	是	O(n)	O(n2)	O(n2)
插入	是	是	O(n)	O(n2)	O(n2)
选择	是	否	O(n2)	O(n2)	O(n2)

归并排序

核心思想：利用分而治之的思想，递归解决问题。如果要排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一 起，这样整个数组就都有序了。

示例代码：

class Solution():
    def mergeSort(self, arr):
        print("Splitting ", arr)
        if len(arr) > 1:
            mid = len(arr)//2
            lefthalf = arr[:mid]
            righthalf = arr[mid:]

            self.mergeSort(lefthalf)
            self.mergeSort(righthalf)

            i = 0
            j = 0
            k = 0
            while i < len(lefthalf) and j < len(righthalf):
                if lefthalf[i] < righthalf[j]:
                    arr[k] = lefthalf[i]
                    i = i+1
                else:
                    arr[k] = righthalf[j]
                    j = j+1
                k = k+1

            while i < len(lefthalf):
                arr[k] = lefthalf[i]
                i = i+1
                k = k+1

            while j < len(righthalf):
                arr[k] = righthalf[j]
                j = j+1
                k = k+1
            print("Merging ", arr)


arr = [4, 5, 6, 3, 2, 1]
print(arr)
Solution().mergeSort(arr)
print(arr)

性能分析：

• 是一个稳定的排序算法。
• 时间复杂度是O(nlog_n)。
• 空间复杂度是O(n)。

快速排序

快排核心思想就是分治和分区。如果要排序数组中下标从p到r之间的一组数据，我们选择p到r之间的任意一个数据作为pivot（分区点）。 我们遍历p到r之间的数据，将小于pivot的放到左边，将大于pivot的放到右边，将pivot放到中间。经过这一步骤之后，数组p到r之间的数据就被分成了三个部分，前 面p到q-1之间都是小于pivot的，中间是pivot，后面的q+1到r之间是大于pivot的。

示例代码：

class Solution():
    def quickSort(self, arr: list):
        self.quickHelper(arr, 0, len(arr)-1)

    def quickHelper(self, arr: list, first: int, last: int):
        if first < last:
            splitpoint = self.partition(arr, first, last)
            self.quickHelper(arr, first, splitpoint-1)
            self.quickHelper(arr, splitpoint+1, last)

    def partition(self, arr: list, first: int, last: int):
        pivot = arr[first]
        left = first + 1
        right = last

        done = False
        while not done:
            while left <= right and arr[left] <= pivot:
                left = left + 1
            while arr[right] >= pivot and right >= left:
                right = right - 1
            if right < left:
                done = True
            else:
                temp = arr[left]
                arr[left] = arr[right]
                arr[right] = temp
        temp = arr[first]
        arr[first] = arr[right]
        arr[right] = temp

        return right


arr = [4, 5, 6, 3, 2, 1]
print(arr)
Solution().quickSort(arr)
print(arr)

性能分析：

• 时间复杂度也是O(nlog_n)。

但是，公式成立的前提是每次分区操作，我们选择的pivot都很合适，正好能将大区间对等地一分为二。但实际上这种情况是很难实现的

13 线性排序

桶排序

核心思想是将要排序的数据分到几个有序的桶里，每个桶里的数据再单独进行排序。桶内排完序之 后，再把每个桶里的数据按照顺序依次取出，组成的序列就是有序的了。

桶排序比较适合用在外部排序中。所谓的外部排序就是数据存储在外部磁盘中，数据量比较大，内存有限，无法将数据全部加载到内存中。

计数排序

计数排序其实是桶排序的一种特殊情况。当要排序的n个数据，所处的范围并不大的时候，比如最大值是k，我们就可以把数据划分成k个桶。每个桶 内的数据值都是相同的，省掉了桶内排序的时间。

示例代码：

class Solution:
    def countingSort(self, arr: list, n: int):
        if n <= 1:
            return

        mv = arr[0]
        for v in arr:
            if mv < v:
                mv = v

        c = [0 for x in range(mv+1)]

        for i in range(n):
            c[arr[i]] += 1

        for i in range(1, mv+1):
            c[i] = c[i-1] + c[i]

        r = [0 for x in range(n)]
        i = n-1
        while i >= 0:
            index = c[arr[i]] - 1
            r[index] = arr[i]
            c[arr[i]] -= 1
            i -= 1

        for i in range(n):
            arr[i] = r[i]


arr = [4, 5, 6, 3, 2, 1]
print(arr)
Solution().countingSort(arr, len(arr))
print(arr)

计数排序只能用在数据范围不大的场景中，如果数据范围 k 比要排序的数据 n 大很多，就不适合用计数排序了。而且，计数排序只能给非负整数排序，如果要排序的数据是其他类型的，要将其在不改变相对大小的情况下，转化为非负整数。

基数排序

基数排序对要排序的数据是有要求的，需要可以分割出独立的“位”来比较，而且位之间有递进的关系，如果a数据的高位比b数据大，那剩下的低 位就不用比较了。除此之外，每一位的数据范围不能太大，要可以用线性排序算法来排序，否则，基数排序的时间复杂度就无法做到O(n)了。

14 排序优化

	时间复杂度	是否稳定排序	是否原地排序
冒泡排序	O(n2)	是	是
插入排序	O(n2)	是	是
选择排序	O(n2)	否	是
快速排序	O(nlog2)	否	是
归并排序	O(nlog2)	是	否
计数排序	O(n+k) k是数据范围	是	否
桶排序	O(n)	是	否
基数排序	O(dn) d 是维度	是	否

如何优化快速排序？

• 三数取中法
• 随机法

15&16 二分查找

二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。时间复杂度为 O(long_n)

示例代码：

• 递归实现

class Solution:
    def bsearch(self, arr: list, n: int, val: int):
        return self.bsearchInternally(arr, 0, n-1, val)

    def bsearchInternally(self, arr: list, low: int, high: int, val: int):
        if low > high:
            return -1
        mid = low + ((high-low) >> 1)
        if arr[mid] == val:
            return mid
        elif arr[mid] < val:
            return self.bsearchInternally(arr, mid+1, high, val)
        else:
            return self.bsearchInternally(arr, low, mid-1, val)


arr = [1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 5]
v = Solution().bsearch(arr, len(arr), 4)
print(v)

• 非递归实现

class Solution:
    def bsearch(self, arr: list, n: int, val: int):
        low = 0
        high = n - 1
        while low <= high:
            mid = (low+high) // 2
            if arr[mid] == val:
                return mid
            elif arr[mid] < val:
                low = mid + 1
            else:
                high = mid - 1
        return -1


arr = [1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 5]
v = Solution().bsearch(arr, len(arr), 4)
print(v)

应用场景的局限性：

• 二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上；
• 二分查找针对的是有序数据；
• 数据量太小或太大不适合二分查找；

二分查找的变形问题：

• 查找第一个值等于给定值的元素

示例代码：

class Solution:
    def bsearch(self, arr: list, n: int, val: int):
        low = 0
        high = n-1
        while low <= high:
            mid = low + ((high-low) >> 1)
            if arr[mid] > val:
                high = mid - 1
            elif arr[mid] < val:
                low = mid + 1
            else:
                if mid == 0 or arr[mid-1] != val:
                    return mid
                else:
                    high = mid - 1
        return -1


arr = [1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 5]
v = Solution().bsearch(arr, len(arr), 4)
print(v)

• 查找最后一个值等于给定值的元素

示例代码：

# 待修改
class Solution:
    def bsearch(self, arr: list, n: int, val: int):
        low, high = 0, n-1
        while low <= high:
            mid = low + ((high-low) >> 1)
            if arr[mid] > val:
                high = mid - 1
            elif arr[mid] < val:
                low = mid + 1
            else:
                if mid == n-1 or arr[mid+1] != val:
                    return mid
                else:
                    low = mid + 1
        return -1


arr = [1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 5]
v = Solution().bsearch(arr, len(arr), 3)
print(v)

• 查找第一个大于等于给定值的元素

示例代码：

# 待修改
class Solution:
    def bsearch(self, arr: list, n: int, val: int):
        low, high = 0, n-1
        while low <= high:
            mid = low + ((high-low) >> 1)
            if arr[mid] >= val:
                if mid == 0 or arr[mid - 1] < val:
                    return mid
                else:
                    high = mid-1
            else:
                low = mid + 1
        return -1


arr = [1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 5]
v = Solution().bsearch(arr, len(arr), 3)
print(v)

• 查找最后一个小于等于给定值的元素

示例代码：

# 待修改
class Solution:
    def bsearch(self, arr: list, n: int, val: int):
        low, high = 0, n-1
        while low <= high:
            mid = low + ((high-low) >> 1)
            if arr[mid] > val:
                high = mid - 1
            else:
                if mid == n - 1 or arr[mid + 1] > val:
                    return mid
                else:
                    low = mid + 1
        return -1


arr = [1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 5]
v = Solution().bsearch(arr, len(arr), 3)
print(v)

17 跳表

Redis 的有序集合就是使用跳表来实现的。

跳表使用空间换时间的设计思路，通过后见多级索引来提高查询订单效率，实现了基于链表的 “二分查找”。调表是一种动态结构，支持快速的插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 O(long_n)

跳表的空间复杂度是 O(n)，不过，跳表的实现非常灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现起来并不简单，但是作为一种动态结构，比起红黑树来说，实现要简单很多。所以很多时候，我们为了代码的简单、易读，比起红黑树，我们更倾向用跳表。

18&19&20 散列表

Word 文档中的单词拼写检查功能

散列表是由数组演化而来的，借助散列函数堆数组进行扩展，利用的是数组支持按照下标随机访问元素的特性。

散列冲突的解决方法：

• 开放寻址法
• 链表法

散列表的查询效率不能笼统地说成是 O(1)，它跟散列函数、装载因子、散列冲突等都有关系。如果散列函数涉及得不好，或者装载因子过高，都可能导致散列冲突发生的概率升高，查询效率下降。

如何设计散列函数？

直接寻址法、平方取中法、折叠法、随机数法等

装载因子过大怎么办？

装载因子阈值的设置要权衡时间、空间复杂度。如果内存空间不要紧，对执行效率要求很高，可以降低负载因子的阀值；相反，如果内存空间紧张，对执行效率要求又不高，可以增加负载因子的值，甚至可以大于 1。

如何避免低效地扩容？

通过均摊的方法，将一次性扩容的代价，均摊到多次插入操作中，就避免了一次性扩容耗时过多的情况。这种实现方式，任何情况下，插入一个数据的时间 复杂度都是O(1)。

工业级散列表分析要素：

• 初始大小
• 装载因子和动态扩容
• 散列冲突解决方法
• 散列函数

工业级散列表特征：

• 支持快速的查询、插入、删除操作；
• 内存占用合理，不能浪费过多的内存空间；
• 性能稳定，极端情况下，散列表的性能也不会退化到无法接受的情况；

工业级散列表设计思路：

• 设计一个合适的散列函数；
• 定义装载因子阈值，并且设计动态扩容策略；
• 选择合适的散列冲突解决方法；

21&22 哈希算法

将任意长度的二进制值串映射为固定长度的二进制值串，这个映射的规则就是哈希算法，而 通过原始数据映射之后得到的二进制值串就是哈希值。

满足如下几点要求：

• 从哈希值不能反向推导出原始数据（所以哈希算法也叫单向哈希算法）；
• 对输入数据非常敏感，哪怕原始数据只修改了一个Bit，最后得到的哈希值也大不相同；
• 散列冲突的概率要很小，对于不同的原始数据，哈希值相同的概率非常小；
• 哈希算法的执行效率要尽量高效，针对较长的文本，也能快速地计算出哈希值。

应用场景：

• 安全加密
• 唯一标识
• 数据校验
• 散列函数
• 负载均衡
• 数据切片
• 分布式存储

23&24 二叉树

想要存储一棵二叉树，我们有两种方法，一种是基于指针或者引用的二叉链式存储法，一种是基于数组的顺序存储法。

二叉树的遍历：

• 前序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
• 中序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
• 后序遍历：对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。

二叉查找树

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支 持快速插入、删除一个数据。

二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大 于这个节点的值。

25&26 红黑树

满足要求：

• 根节点是黑色的；
• 每个叶子结点都是黑色的空节点（NIL），也就是说，叶子节点不存储数据；
• 任何相邻的节点都不能同时为红色，也就是说，红色节点是被黑色节点隔开的；
• 每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所以路径，都包含相同数目的黑色节点；

红黑树是一种平衡二叉查找树，它是为了解决普通二叉查找树在数据更新的过程中，复杂度退化的问题而产生的，红黑树的高度近似 log₂n，所以它是近似平衡，插入、删除、查找操作的时间复杂度都是 O(log_n)。

因为红黑树是一种性能非常稳定的二叉查找树，所以，在工程中，但凡是用到动态插入、删除、查找数据的场景，都可以用到它。不过，它实现起来比较复杂，如果自己写代码实现，难度会有些高，这个时候，我们其实更倾向用跳表来代替它。

27 递归树

• 实战一：分析快速排序的时间复杂度
• 实战二：分析斐波那契数列的时间复杂度
• 实战三：分析全排列的时间复杂度

28&29 堆和堆排序

堆的特点：

• 是一个完全二叉树；
• 队中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值；

对于每个节点值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做 “大顶堆”；对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做 “小顶堆”。

为什么快速排序要比堆排序性能好？

• 堆排序数据访问方式没有快速排序友好；
• 对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序；

堆的应用：

• 优先级队列
  • 合并有序小文件
  • 高性能定时器
• 利用堆求 Top K
• 利用堆求中位数

30&31 图

非线性数据结构

相关概念：

• 顶点
• 边
• 度（出度、入度）
• 有向图
• 无向图
• 带权无向图（权重）

存储方法：

• 邻接矩阵
• 邻接表
• 外部存储（数据库等）

邻接矩阵存储方法的缺点是比较浪费空间，但是优点是查询效率高，而且方便矩阵运算。邻接表存储方法中每个顶点都对应一个链表，存储与其相连接的其他顶 点。尽管邻接表的存储方式比较节省存储空间，但链表不方便查找，所以查询效率没有邻接矩阵存储方式高。针对这个问题，邻接表还有改进升级版，即将链表换成更加高效的动态数据结构，比如平衡二叉查找树、跳表、散列表等。

搜索方法：

• 深度优先搜索（DFS）
• 广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如A、IDA等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被 叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。 广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。广度优先搜索需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是，起始顶点到终 止顶点的最短路径。深度优先搜索用的是回溯思想，非常适合用递归实现。换种说法，深度优先搜索是借助栈来实现的。在执行效率方面，深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是O(E)，空间复杂度是O(V)。

32&33&34 字符串

匹配算法

BF 算法

全称叫 Brute Force 算法，中文叫作暴力匹配算法，也叫朴素匹配算法。

RK 算法

全称叫 Rabin-Karp 算法，是 BF 算法的改进版。

BM 算法

全称叫 Boyer-Moore 算法。是一种非常搞笑的字符串匹配算法。

BM 算法核心思想是，利用模式串本身的特点，在模式串中某个字符与主串不能匹配的时候，将模式串往后多滑动几位，以此来减少不必要的字符比较，提高匹配的效率。BM算法构建的规则有两类，坏字符规则和好后缀规则。好后缀规则可以独立于坏字符规则使用。因为坏字符规则的实现比较耗内存，为了节省内存，我们可以只用好后缀规则来实现 BM 算法。

MKP 算法

KMP算法的核心思想是：我们假设主串是a，模式串是b。在模式串与主串匹配的过程中，当遇到不可匹配的字符的时候，我们希望找到一些规律，可以将模式串往后多滑动几位，跳过那些肯定不会匹配的情况。

BM算法有两个规则，坏字符和好后缀。KMP算法借鉴BM算法的思想，可以总结成好前缀规则。这里面最难懂的就是next数组的计算。如果用最笨的方法来计 算，确实不难，但是效率会比较低。所以，我讲了一种类似动态规划的方法，按照下标i从小到大，依次计算next[i]，并且next[i]的计算通过前面已经计算出来 的next[0]，next[1]，……，next[i-1]来推导。 KMP算法的时间复杂度是O(n+m)。

35 Trie 树

Trie树，也叫“字典树”。顾名思义，它是一个树形结构。它是一种专门处理字符串匹配的数据结构，用来解决在一组字符串集合中快速查找某个字符串的问题。

如果用来构建Trie树的这一组字符串中，前缀重复的情况不是很多，那Trie树这种数 据结构总体上来讲是比较费内存的，是一种空间换时间的解决问题思路。

尽管比较耗费内存，但是对内存不敏感或者内存消耗在接受范围内的情况下，在Trie树中做字符串匹配还是非常高效的，时间复杂度是O(k)，k表示要匹配的字符串的长度。 但是，Trie树的优势并不在于，用它来做动态集合数据的查找，因为，这个工作完全可以用更加合适的散列表或者红黑树来替代。Trie树最有优势的是查找前缀匹配的字符 串，比如搜索引擎中的关键词提示功能这个场景，就比较适合用它来解决，也是Trie树比较经典的应用场景。

36 AC 自动机

AC自动机是基于Trie树的一种改进算法，它跟Trie树的关系，就像单模式串中，KMP算法与BF算法的关系一样。KMP算法中有一个非常关键的next数组，类比 到AC自动机中就是失败指针。而且，AC自动机失败指针的构建过程，跟KMP算法中计算next数组极其相似。所以，要理解AC自动机，最好先掌握KMP算法，因为AC自动机其实就是KMP算法在多模式串上的改造。

整个AC自动机算法包含两个部分，第一部分是将多个模式串构建成AC自动机，第二部分是在AC自动机中匹配主串。第一部分又分为两个小的步骤，一个是将模 式串构建成Trie树，另一个是在Trie树上构建失败指针。

37 贪心算法

贪心算法有很多经典的应用，比如霍夫曼编码（Huffman Coding）、Prim和Kruskal最小生成树算法、还 有Dijkstra单源最短路径算法。

实际上，贪心算法适用的场景比较有限。这种算法思想更多的是指导设计基础算法。比如最小生成树算法、单源最短路径算法，这些算法都用到了贪心算法。

38 分治算法

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就是四个字，分而治之 ，也就是将原问题划分成n个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些 子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

• 分解：将原问题分解成一系列子问题；
• 解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
• 合并：将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

• 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
• 原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别，等我们讲到动态规划的时候，会详细对比这两种算法；
• 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
• 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

39 回溯算法

回溯算法的思想非常简单，大部分情况下，都是用来解决广义的搜索问题，也就是，从一组可能的解中，选择出一个满足要求的解。回溯算法非常适合用递归来 实现，在实现的过程中，剪枝操作是提高回溯效率的一种技巧。利用剪枝，我们并不需要穷举搜索所有的情况，从而提高搜索效率。

40 动态规划