随机分析在衍生品定价中的逻辑线条

现在这是一个阿猫阿狗都知道什么是Black-Scholes的年代了。但是对于随机分析在衍生品定价中的逻辑，其实没有多少人（甚至没有多少书）写清楚。

首先，下面这个公式是一个普适的、非模型依赖的公式：

    

这件事情说了一件很白痴的事情，那就是如果时刻持有的股票头寸是，那么股价变动引起的资产总额变动是股价的变动额乘以。

但是似乎有一点不同，因为这里加上了贴现因子，通常情况下它等于。这是什么意思呢？因为你放在现金账户里的钱会产生利息，也就是按照指数增长。因此只有两边同时去除掉利息的影响，亦即乘以贴现因子，上面的逻辑才成立。

对于多维情况，很简单的可以推广成为

    

这两个公式不涉及具体的模型，很"物理"。

下面，我们进入资产定价的环节。我不管满足什么模型，几何布朗运动也好，其它的什么也好。但我知道一件事情，那就是，由于是可测的（因为我不能预知未来，但可以决定现在我的账户里的股票头寸）。那么是一个鞅当且仅当是一个鞅。

那么现在好，如果我现在找一个测度Q，在测度Q下右边的每一个求和项都是一个鞅，那么左边自然就是一个鞅了。换句话说，如果市场上所有的衍生证券都可以用这个求和式构造出来，（也就是其风险能够被股票和现金对冲掉）则称这个市场是完全的。可以证明的一件事是，完全市场等价于具有唯一风险中性测度Q。

现在我们要给市场建模了。市场是随机的，用什么描写随机呢？马克思告诉我们（观众：马克思什么时候告诉了），就用一个d维布朗运动就好了。这个假设说很强也不是很强，因为一般的连续随机过程几乎总是可以表示成Ito过程，但是参数的随机性能不能用布朗运动建模，我们不知道，不过这样做理论上总是在一定程度上可以的（请脑补类比一下傅里叶展开）。现在我们要用到数学上一个牛逼定理，就是所谓的鞅表示定理。他告诉我们如果你丫是鞅，而且你丫身处这个由d维布朗运动驱动的随机世界里，那么你丫的微分一定可以写成下面这样：

    

所以，如果真的找到一个测度Q，使得上面那个等式左右都是鞅，那左右两边都能按照展开，对比一下系数我们就能确定对冲头寸。

但现在还没涉及衍生证券是啥，只是假设了衍生证券可以被对冲而已。先不管。假设对冲是可能的。现在左右两边都是鞅了，用方案对冲出来的衍生证券一定满足鞅的等式

    

既然叫衍生证券，那一定有（多维情况另说），所以我们只要知道在Q下的分布，算个Q下的条件期望，就知道了。这就是风险中性定价的原理。

要求这个期望，我得知道的分布是啥。现在终于要给股票建模了，于是Black-Scholes给了一个几何布朗运动的模型（为啥？因为好算而且看起来像），等等，几何布朗运动建模后不是鞅，怎么办，没事，我们找到了一个叫Girsanov的定理，可以把它变成鞅，这个定理挺好用的，他可以用测度变换把"漂移项"吸收掉，使得原来的这个东西在Q测度下变成一个布朗运动。于是自然可以写成的形式，是新测度下的鞅。所以右边自然就变成鞅了。于是左边也变成鞅了。知道分布后立马可以用条件期望算得，求出来就是Black-Scholes公式。什么恩第一恩第二那个。万事大吉。

似乎还有一件事没完成？你说对了。我还不知道是啥。对冲方案不给出来，什么定价都是浮云。这个好办。仔细观察，几何布朗运动是一个Markov过程，凡是Markov过程有一个性质，未来变量的任意函数的条件期望一定是现值的函数。简单说就是将来由现在决定与过去无关。所以注意上面那个条件期望，于是可以肯定的是

    

这么一来事情就好办了。为啥？因为最上面的微分等式可以展开。右边按照股票模型展开，左边按照伊藤引理和股票模型一起展开，对比系数得到。多维的情形也差不多。不过这里展开后左右都有两项，一个是的系数，另一个是的系数。也就是说我们实际上有两个等式，后面一个是的值，而前一个等式实际上就是Black-Scholes微分方程。这个求方程的过程实际上就是所谓的Feymann-Kac定理。它让我们在SDE和PDE之间转换。

有人想问，要是我不用几何布朗运动给股票建模呢？那怎么办？我的答案是，随便你。爱用啥用啥，但重要的是，你这个最好能转换成一个Markov过程。不然用不了Ito引理。一种常用而普遍流行的做法是所谓的随机微分方程大法——这种方法对原生资产或者参数全部用所谓的SDE建模，大概长这个样子：

    

其中漂移项和波动项系数都是非随机函数。数学上可以证明这样的方程的解一定满足Markov性。

那万一不是Markov怎么办？解决方案是，扩充布朗运动的维数，给随机的参数再写一个SDE模型。让整体变成Markov的就行了。

为什么市场一定可以化成Markov的？数学上的答案是，不知道。经济学上的答案是，因为市场是有效的。未来一定由现在而不是过去决定。

总之，用Ito引理的前提是风险中性期望能够用当前值表达从而写成已有模型变量的函数。通常这要求我们的原生资产是Markov或者可以Markov化的。而Ito引理告诉我们对冲方法怎么得到。

但要注意一点的是，对冲法则不是一定存在唯一的，这件事对应着风险中性概率测度Q不是一定存在唯一。如果说无套利加上一些假设暗含着风险中性测度Q的存在性。那唯一性是没有保证的。风险中性测度不唯一的市场虽然没有套利，但是却无法对冲衍生证券。这种情形实际生活中并不鲜见。你比如一个最简单的例子，两时期三叉树股票模型。鞅测度一找一大把，和二叉树最大的不同就是鞅测度不唯一，这种情形虽然无套利，但是你没法用它和货币一起构造出一个简单的期权。

很多信用衍生品的定价都有类似的问题，就是定价是不完备的。所以信用衍生品通常只能用统计方法来忽悠忽悠，但是不能完美的对冲。其定价都是形式的。你可以蒙特卡洛一百万次算出来个期望，问题在于你不知道这个价格怎么对冲。

最后，随机分析的金融应用什么的，都是浮云。金融衍生品就是人类自己和自己较劲的产物。挺无聊的东西。说白了就是给一堆条约算账。只不过这账很复杂罢了。而且理论算出来的东西，你老板说不定还根本不用你的方法，直接忽悠忽悠就拉拉皮条从上家卖给下家去了。衍生品这个东西，到底对人类起到的作用是好是坏，我个人觉得弊大于利。罂粟能治病也能制海洛因，但是贩毒还是被禁止的。其实没有几个人是在这里治病的，但"玩"这些东西的人还不如去澳门捞两把刺激。