已经变成嘴巴的形状了

注意，本篇文章均为嘴巴，无任何可信度。

km

稍微化简一下。

限制：

2 [(x_{i} - x_{j}) (u_{i} - u_{j}) + (y_{i} - y_{j}) (v_{i} - v_{j})] \geq - [(u_{i} - u_{j})^{2} + (v_{i} - v_{j})^{2}]

最大化：

\sum_{i, j} 2 [(x_{i} - x_{j}) (u_{i} - u_{j}) + (y_{i} - y_{j}) (v_{i} - v_{j})]

~~有某D姓选手一眼线性规划对偶，我特此来警（jue）示（mu）后（bian）人（shi）~~。

稍微推一下，发现这个等价于求：

max \sum_{i} x_{i} u_{i} + y_{i} v_{i}

现在最难的还是这个限制。现在我们来证明存在一种满足限制的方案，使其顶到最大值。

反证，假设取到最大时，存在 $2 [(x_{i} - x_{j}) (u_{i} - u_{j}) + (y_{i} - y_{j}) (v_{i} - v_{j})] < - [(u_{i} - u_{j})^{2} + (v_{i} - v_{j})^{2}]$

注意到右边的东西小于等于 $0$ 。放缩一下，即有 $(x_{i} - x_{j}) (u_{i} - u_{j}) + (y_{i} - y_{j}) (v_{i} - v_{j}) < 0$ 。

移项得：

x_{i} u_{i} + y_{i} v_{i} + x_{j} u_{j} + y_{j} v_{j} < x_{i} u_{j} + y_{i} v_{j} + x_{j} u_{i} + y_{j} v_{i}

矛盾，以此得证。

剩下的部分随便做做就行了。

「2020-2021集训队作业」如果会出题就好了

如果会做题就更好了。

一棵树，两种操作，一种换根，一种求链上 $l e n_{u}$ 的异或和。

其实很明显可以离线下来对吧。仔细思考换根对树上 $l e n$ 的影响，发现只会影响 $u, v$ 这两个点。貌似可以直接做？

好像有更简单的做法（真的简单吗）。

「雅礼集训 2017 Day5」珠宝

直接做是 $n k$ 的背包~~很能冲直接开冲~~。

至少得优化一点吧。发现 $c_{i}$ 的总数比较小，那就将相同的 $c_{i}$ 分类，显然对同一体积取较大值，设 $d p_{i, j}$ 为考虑到第 $i$ 个价格， $j$ 块钱能得到的最大价值，可以直接写转移：

d p_{i, j} = max_{k c_{i} \leq j} d p_{i - 1, j - k c_{i}} + w (i, k)

$w (i, k)$ 指体积为 $c_{i}$ 的物品买前 $k$ 件价值。

发现这个 dp 把模 $c_{i}$ 相同的拿出来，那就是若干个 $d p_{i, j} = max d p_{i - 1, j - k} + w (k)$ 的形式，这个 $w (k)$ 是一个凸函数，不难用四边形不等式分析出这个局部决策单调性。

「2020-2021 集训队作业」Gem Island 2

好想去摆烂啊。

先考虑拆期望，变成每种值在前 $K$ 大中出现的方案数，设其为 $F_{i}$ 。

还是不好做，变成第 $i$ 大值大于等于 $j$ 的方案数。也就是算有 $i$ 个数大于等于 $j$ 的方案数。

容斥，设 $f_{i, j}$ 为钦定 $i$ 个数大于等于 $j$ 的方案数, $g_{i, j}$ 为恰好 $i$ 个数大于等于 $j$ 的方案数，那么有：

f_{i, j} = (\binom{n}{i}) (\binom{n + m - (j - 1) i - 1}{n - 1}) f_{i, j} = \sum_{k \geq i} (\binom{k}{i}) g_{k, j} \Rightarrow g_{i, j} = \sum_{k \geq i} (- 1)^{k - i} (\binom{k}{i}) f_{k, j} A n s = \sum_{i, j} min (i, K) g_{i, j}

来优化吧！

为了方便，上文的 $i, j$ 互换并省去 $j$ ，我们继续推导。

g_{i} = \sum_{k \geq i} (- 1)^{k - i} (\binom{k}{i}) (\binom{n}{k}) (\binom{n + m - (j - 1) k - 1}{n - 1})

后面这一大坨玩意不好搞，先看看答案长啥样：

A n s = \sum_{j} \sum_{i \leq n} min (i, K) \sum_{k \geq i} (- 1)^{k - i} (\binom{k}{i}) (\binom{n}{k}) (\binom{n + m - (j - 1) k - 1}{n - 1})

我们转换枚举顺序，变成：

\sum_{j} \sum_{k \leq n} (\binom{n}{k}) (\binom{n + m - (j - 1) k - 1}{n - 1}) \sum_{i \leq k} (- 1)^{k - i} (\binom{k}{i}) min (i, K)

考虑后面这个东西，分成 $i \leq K$ 和 $i > K$ 讨论。

先来看 $i \leq K$ 的情况，稍微推下可以得到：

\sum_{i \leq min k, K} (- 1)^{k - i} (\binom{k}{i}) i = k (- 1)^{K + k} (\binom{k - 2}{K - 1})

记为 $t_{k}$ 。

\sum_{i = K + 1}^{k} (- 1)^{k - i} (\binom{k}{i}) K = K (- 1)^{K + k + 1} (\binom{k - 1}{K})

记为 $z_{k}$ 。

这些都是容易计算的，答案现在是：

\sum_{k \leq n} (t_{k} + z_{k}) (\binom{n}{k}) \sum_{j \geq 1} (\binom{n + m - (j - 1) k - 1}{n - 1}) = \sum_{k \leq n} (t_{k} + z_{k}) (\binom{n}{k}) \sum_{j \geq 0} (\binom{n + m - j k - 1}{n - 1})

到了这一步，我们最终还是要处理这个 $\sum_{j \geq 0} (\binom{n + m - j k - 1}{n - 1})$ 的。

发现 $j k$ 其实不超过 $m$ 。我们想到设一个 $h_{n} = \sum_{d | n} (t_{d} + z_{d}) (\binom{n}{d})$ ，我们用一个迪利克雷前缀和做到 $m \log \log m$ ，然后直接计算就可以了。

总结

好像这几天就没写什么，已经菜死了。

上一篇期望概率

本文作者：_kkio

本文链接：https://www.cnblogs.com/hikkio/p/17889035.html

posted @ 2023-12-08 21:02 _kkio 阅读(23) 评论(0) 编辑收藏举报

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