Gym102354I From Modular to Rational

问两个相乘不会炸 $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 的质数，用 CRT 合并，得到 $\frac{p}{q}\equiv r(\mathrm{mod}M)$。其中 $M$ 是大于 ${10}^{18}$ 的数。

由于这个 $M$ 太大了，不存在 $\frac{p}{q}\equiv \frac{a}{b}(\mathrm{mod}M)$ 且 $p,q,a,b\le {10}^9$，所以我们只需找到一个 $\frac{p}{q}$ 满足条件。

稍微转化一下条件变成找到一个 $q\le {10}^9$ 使 $qr\le {10}^9(\mathrm{mod}M)$。改写式子成 $qr=kM+x\Rightarrow \frac{r}{M}=\frac{k}{q}+\frac{x}{M}$。由于这个 $x\le {10}^9$，$\frac{x}{M}$ 很小，忽略不计，那么 $\frac{r}{m}$ 近似于 $\frac{k}{q}$。但是在模意义下这个近似不一定满足条件，所以要将所有近似 $\frac{r}{m}$ 的 $\frac{k}{q}$ 都试一遍。在 S-B Tree 上二分即可。

由于朴素的二分速度过慢，可以用倍增跳过几个点，选若干点判定。这样可能会漏，多选几个询问的质数，可以卡过去。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
mt19937 rnd(time(0));
typedef __int128_t i128;
inline ll qmul(ll a,ll b,const ll &mod){return (i128)a*b%mod;}
inline ll ksm(ll b,ll p,const ll &mod){ll ret=1;while(p){if(p&1)ret=ret*b%mod;b=b*b%mod;p>>=1;}return ret;}
ll cmp(ll a1,ll b1,ll a2,ll b2){return (i128)a1*b2<=(i128)a2*b1;}
ll inv(ll v,const ll &mod){return ksm(v,mod-2,mod);}
ll CRT(ll a1,ll m1,ll a2,ll m2)
{return (qmul(a1,inv(m2,m1)*m2,m1*m2)+qmul(a2,inv(m1,m2)*m1,m1*m2))%(m1*m2);}
const ll mod1=1e9+7,mod2=1e9+9,mod3=mod1*mod2,mod4=1e9+21,mod5=1e9+33,mod6=mod4*mod5,mod7=1000000087,mod8=1000000093,mod9=mod7*mod8;
bool check(ll p,ll q){if(p>1000000000||q>1000000000)return 0;return 1;}
void solve()
{
    ll t1,t2,r;
    printf("? %lld\n\n",mod1);fflush(stdout);
	scanf("%lld",&t1);
    printf("? %lld\n\n",mod2);fflush(stdout);
	scanf("%lld",&t2);
    r=CRT(t1,mod1,t2,mod2);
    ll a1=0,b1=1,a2=1,b2=0;
    while(b1<=1e9&&b2<=1e9)
    {
        ll am=a1+a2,bm=b1+b2;
        ll np=qmul(b1,r,mod3),nq=b1;
        if(check(np,nq)){printf("! %lld %lld\n",np,nq);fflush(stdout);return;}
        if(cmp(am,bm,r,mod3))
        {
            a1=am,b1=bm;
            ll lim=(1e9-b1)/b2;

        	if(lim)
            for(int i=__lg(lim);i>=0;i--)
                if((b1+b2*(1<<i)<=1e9)&&cmp(a1+a2*(1<<i),b1+b2*(1<<i),r,mod3))a1=a1+a2*(1<<i),b1=b1+b2*(1<<i);
        }
        else
        {
            a2=am,b2=bm;
            ll lim=(1e9-b2)/b1;
			if(lim)
            for(int i=__lg(lim);i>=0;i--)
                if((b2+b1*(1<<i)<=1e9)&&!cmp(a2+a1*(1<<i),b2+b1*(1<<i),r,mod3))a2=a2+a1*(1<<i),b2=b2+b1*(1<<i);
            
        }
    }
    printf("? %lld\n\n",mod4);fflush(stdout);
	scanf("%lld",&t1);
    printf("? %lld\n\n",mod5);fflush(stdout);
	scanf("%lld",&t2);
    r=CRT(t1,mod4,t2,mod5);
    a1=0,b1=1,a2=1,b2=0;
    while(b1<=1e9&&b2<=1e9)
    {
        ll am=a1+a2,bm=b1+b2;
        ll np=qmul(b1,r,mod6),nq=b1;
        if(check(np,nq)){printf("! %lld %lld\n",np,nq);fflush(stdout);return;}
        if(cmp(am,bm,r,mod6))
        {
            a1=am,b1=bm;
            ll lim=(1e9-b1)/b2;
			if(lim) 
            for(int i=__lg(lim);i>=0;i--)
                if((b1+b2*(1<<i)<=1e9)&&cmp(a1+a2*(1<<i),b1+b2*(1<<i),r,mod6))a1=a1+a2*(1<<i),b1=b1+b2*(1<<i);
        }
        else
        {
            a2=am,b2=bm;
            ll lim=(1e9-b2)/b1;
            if(lim)
            for(int i=__lg(lim);i>=0;i--)
                if((b2+b1*(1<<i)<=1e9)&&!cmp(a2+a1*(1<<i),b2+b1*(1<<i),r,mod6))a2=a2+a1*(1<<i),b2=b2+b1*(1<<i);
            
        }
    }
    printf("? %lld\n\n",mod7);fflush(stdout);
	scanf("%lld",&t1);
    printf("? %lld\n\n",mod8);fflush(stdout);
	scanf("%lld",&t2);
    r=CRT(t1,mod7,t2,mod8);
    a1=0,b1=1,a2=1,b2=0;
    while(b1<=1e9&&b2<=1e9)
    {
        ll am=a1+a2,bm=b1+b2;
        ll np=qmul(b1,r,mod9),nq=b1;
        if(check(np,nq)){printf("! %lld %lld\n",np,nq);fflush(stdout);return;}
        if(cmp(am,bm,r,mod9))
        {
            a1=am,b1=bm;
            ll lim=(1e9-b1)/b2;
            if(lim)
            for(int i=__lg(lim);i>=0;i--)
                if((b1+b2*(1<<i)<=1e9)&&cmp(a1+a2*(1<<i),b1+b2*(1<<i),r,mod9))a1=a1+a2*(1<<i),b1=b1+b2*(1<<i);
        }
        else
        {
            a2=am,b2=bm;
            ll lim=(1e9-b2)/b1;
            if(lim)
            for(int i=__lg(lim);i>=0;i--)
                if((b2+b1*(1<<i)<=1e9)&&!cmp(a2+a1*(1<<i),b2+b1*(1<<i),r,mod9))a2=a2+a1*(1<<i),b2=b2+b1*(1<<i);
            
        }
    }
    
}
int main()
{
//	freopen("data.in","r",stdin);
//	freopen("1.out","w",stdout);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)solve();
    return 0;
}
/*
992240734 979326369
404614179
506026278
832398522
921642416
*/