线性代数笔记-子空间
子空间
我们在空间中找到其中一部分空间，它里面的向量进行线性组合，结果仍然在这个空间中，这被称为子空间。
反例：
我们将二维的一象限作为这个部分，它其中的向量线性组合会逃逸出一象限，如将向量乘以一个负数。
二维中的正例：
- 整个二维空间
- 一条穿过原点的直线，构成子空间
- 0向量，因为它无论如何组合都是0。
三维空间的正例：
- 整个三维空间
- 穿过原点的直线
- 穿过原点的面
- 0向量
列空间
由矩阵中每一列向量组成的空间被称为列空间。三维的列向量组成的列空间可能是一条直线或一个面或整个三维空间。
如果矩阵如下\(A\)，由于它的三列都线性相关，因此它的列空间就是一条通过原点的直线，我们称它的秩为1。
\[A=\begin{bmatrix}
1 & 3 & 8 \\
1 & 3 & 8 \\
1 & 3 & 8
\end{bmatrix}\]
如果矩阵如下\(B\)，它的列空间就是一个穿过原点的平面，因为第3列是第1列和第2列的线性组合，它的RANK就是2。将第三列这种由其他列线性组合出来的向量称为不独立的。
如果第三列和1、2列不在一个平面上，那么列空间将是整个三维空间，RANK将是3。
\[B=\begin{bmatrix}
2 & 1 & 3 \\
3 & 1 & 4 \\
5 & 7 & 12
\end{bmatrix}\]
RANK（秩）= 独立列向量的数量
奇异矩阵什么时候有解
如果矩阵\(A\)满足以下方程，只有当\(b\)在\(A\)的列空间中，方程才存在解。\(A\)的列空间记作\(C(A)\)
\[Ax=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2\\
2 & 1 & 3\\
3 & 1 & 4\\
4 & 1 & 5\\
\end{bmatrix}
x=b\]
零空间（Null-Space）
还是上面这个方程，当\(b=0\)时，方程的解\(x\)构成零空间。
\[Ax=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2\\
2 & 1 & 3\\
3 & 1 & 4\\
4 & 1 & 5\\
\end{bmatrix}
x=\begin{bmatrix}
0\\0\\0\\0
\end{bmatrix}\]
