[NOIp2006] 能量项链

Description

在\(Mars\)星球上，每个\(Mars\)人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有\(N\)颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是\(Mars\)人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为\(m\)，尾标记为\(r\)，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为\(n\)，则聚合后释放的能量为\(m \times r \times n\)（\(Mars\)单位），新产生的珠子的头标记为\(m\)，尾标记为\(n\)。 需要时，\(Mars\)人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。 例如：设\(N=4\)，\(4\)颗珠子的头标记与尾标记依次为\((2,3) (3,5) (5,10) (10,2)\)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(\(j\)⊕\(k\))表示第\(j,k\)两颗珠子聚合后所释放的能量。则第\(4\)、\(1\)两颗珠子聚合后释放的能量为： (\(4\)⊕\(1\))\(=10 \times 2 \times 3=60\)。 这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为： ((\(4\)⊕\(1\))⊕\(2\))⊕\(3\)）=\(10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=710\)。

Input

第一行是一个正整数\(N(4≤N≤100)\)，表示项链上珠子的个数。第二行是\(N\)个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过\(1000\)。第\(i\)个数为第\(i\)颗珠子的头标记\((1≤i≤N)\)，当\(i<N\)时，第\(i\)颗珠子的尾标记应该等于第\(i+1\)颗珠子的头标记。第\(N\)颗珠子的尾标记应该等于第\(1\)颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

Output

一个正整数\(E(E≤2.1 \times (10)^9)\)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

Sample Input

4
2 3 5 10

Sample Output

710

题解

/*
这是一个区间合并DP
由于是圆环，所以我们的第一步是将圆展开成线
接下来，设f[i][j]表示合并闭区间[i,j]所获得的最大能量
接下来推一下状态
我们令待合并的两个区间为f[l1][r1],f[l2][r2]
很显然l2=r1+1
于是f[l1][r2]=max{f[l1][r1]+f[r1+1][r2]+a[l1]*a[r1+1]*a[r2+1]}
再考虑一下r1的取值范围
因为一个闭区间[l,r]最少包括一个元素
所以l1<=r1,r1+1<=r2
变形并合并得l1<=r1<r2
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N=250;
int n,a[N],f[N][N];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
	int n2=n+n;//减少常数计算
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i+n]=a[i];
	a[n2+1]=a[1];
	for(int i=n2-1;i>=1;--i)//i即l1
		for(int j=i+1;j<=min(i+n-1,n2);++j)
		//j即r2，此处有一个优化，因为最多只有n个珠子
			for(int k=i;k<j;++k)//i即r1
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);
	int Ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) Ans=max(Ans,f[i][i+n-1]);
	printf("%d\n",Ans);
	return 0;
}

---

/*
思路二
f[][]数组的含义同上
我们算f[][]数组可以根据区间的长度
状态转移方程同上
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N=250;
int n,a[N],f[N][N];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
	int n2=n+n;//减少常数计算
	for(int i=1;i<=n;++i) a[i+n]=a[i];
	a[n2+1]=a[1];
	for(int i=1;i<n;++i)
		for(int j=n2-i;j>=1;--j)
			for(int k=j;k<j+i;++k)
				f[j][j+i]=max(f[j][j+i],f[j][k]+f[k+1][j+i]+a[j]*a[k+1]*a[j+i+1]);
	int Ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) Ans=max(Ans,f[i][i+n-1]);
	printf("%d\n",Ans);
	return 0;
}