[NOIp2003] 加分二叉树

Description

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为$d_i$，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为1。叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出：

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

Input

第1行：一个整数n，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（0<分数<100）。

Output

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

Sample Input

5
5 7 1 2 10

Sample Output

145
3 1 2 4 5

Hint

$n<30$

题解

题目给定了一棵中序遍历的树，要我们求给定了一定计算方式后最大的前序遍历的树

我用的是$DP$，用$f[i][j]$表示$[i,j]$这个闭区间构成的一棵中序遍历树的最大值

这显然就变成了一个区间合并问题

状态转移方程为$f[i][j]=max(f[i][k-1]\ast f[k+1][j]+a[k])$，$k$枚举闭区间$[i,j]$的根，显然$kϵ[i,j]$

再考虑边界条件，$f[i][j]$代表的为叶子结点，$f[i][i-1]$代表空子树，根据题意，于是就有了$f[i][i]=a[i],f[i][i-1]=1$

最终题目要输出前序遍历，于是我们加一个$root[i][j]$数组记录使$f[i][j]$最大的$k$(即根的下标)，放在循环里面就可以了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N=50;
int n,a[N],f[N][N],root[N][N];

void Output(int l,int r)
{
    if(l>r) return;
    if(l==r) {printf("%d ",l); return;}
    printf("%d ",root[l][r]);
    Output(l,root[l][r]-1),Output(root[l][r]+1,r);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=0;i<=n+1;++i)
        f[i][i]=a[i],f[i][i-1]=1;
    for(int i=n;i>=1;--i)
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
            for(int k=i;k<=j;++k)//枚举[i,j]这个闭区间内的根
                if(f[i][j]<(f[i][k-1]*f[k+1][j]+a[k]))
                {
                    f[i][j]=f[i][k-1]*f[k+1][j]+a[k];
                    root[i][j]=k;
                }
    printf("%d\n",f[1][n]);
    Output(1,n);
    return 0;
}