[bzoj1089] 严格n元树

Description

如果一棵树的所有非叶节点都恰好有n个儿子，那么我们称它为严格n元树。如果该树中最底层的节点深度为d（根的深度为0），那么我们称它为一棵深度为d的严格n元树。例如，深度为２的严格２元树有三个，如下图：

给出n, d，编程数出深度为d的n元树数目。

Input

仅包含两个整数n, d( 0 < n < = 32, 0 < = d < = 16)

Output

仅包含一个数，即深度为d的n元树的数目。

Sample Input1

2 2

Sample Output1

3

Sample Input2

2 3

Sample Output2

21

Sample Input3

3 5

Sample Output3

58871587162270592645034001

题解

令\(f(i)\)表示深度小于等于\(i\)的严格\(n\)元树的总个数，则深度为\(i\)的严格\(n\)元树\(f(i)-f(i-1)\)

分析状态转移方程，再将深度为\(i-1\)的树的根节点分别做一棵深度为\(1\)的严格\(n\)元树的叶子节点，再加上一个也不加的，这个总数不正是\(f(i)\)吗？

所以状态转移方程为\(f(i)=f(i-1)^n+1\)，由于答案是很大的，所以要有高精度，具体见代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<iomanip>
#include<bitset>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#define rad 1000
using namespace std;

const int D=30,L=5000;
int n,d;
struct data
{
	int v[L],l;
}f[D];

data operator*(data a,data b)
{
	data c;
	c.l=a.l+b.l;
	for(int i=1;i<=c.l;++i) c.v[i]=0;
	for(int i=a.l;i;--i)
		for(int j=b.l;j;--j)
			c.v[i+j-1]+=a.v[i]*b.v[j];
	for(int i=1;i<=c.l;++i)
		if(c.v[i]>=rad)
		{
			if(i==c.l) ++c.l;
			c.v[i+1]+=c.v[i]/rad,
			c.v[i]%=rad;
		}
	while((c.l>1)&&(!c.v[c.l])) --c.l;
	return c;
}

data operator^(data a,int b)
{
	data c;
	c.v[1]=1,c.l=1;
	for(int i=b;i;i>>=1,a=a*a)
		if(i&1) c=c*a;
	return c;
}

data operator+(data a,int b)
{
	a.v[1]+=b;
	for(int i=1;a.v[i]>=rad;++i)
	{
		a.v[i+1]+=a.v[i]/rad,
		a.v[i]%=rad,
		a.l=max(a.l,i+1);
	}
	return a;
}

data operator-(data a,data b)
{
	for(int i=1;i<=a.l;++i)
	{
		a.v[i]-=b.v[i];
		if(a.v[i]<0)
		{
			a.v[i]+=rad,
			--a.v[i+1];
		}
	}
	while((a.l>1)&&(!a.v[a.l])) --a.l;
	return a;
}

void Print(data a)
{
	printf("%d",a.v[a.l]);
	for(int i=a.l-1;i;--i) printf("%03d",a.v[i]);
	putchar('\n');
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&d);
	if(d==0) {puts("1");return 0;}
	f[0].l=1,f[0].v[1]=1;
	for(int i=1;i<=d;++i)
		f[i]=(f[i-1]^n)+1;
	Print(f[d]-f[d-1]);
	return 0;
}

推荐博文「BZOJ1089」[SCOI2003] 严格n元树